Question

Обчислити об’єм піраміди АВСD, якщо задано координати вершин піраміди. А(-1,3,2), В(-1,5,4), С(1,5,2), D (1,3,4). Допоможіть

Answer 1

Найдем вектор по координатам точек:

AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} =

= {-1 - (-1); 5 - 3; 4 - 2} = {0; 2; 2}

AC = {Cx - Ax; Cy - Ay; Cz - Az} =

= {1 - (-1); 5 - 3; 2 - 2} = {2; 2; 0}

AD = {Dx - Ax; Dy - Ay; Dz - Az} =

= {1 - (-1); 3 - 3; 4 - 2} = {2; 0; 2}

V = 1

6

|AB · [AC × AD]|

Найдем смешанное произведение векторов:

AB · (AC × AD) =

ABx ABy ABz

ACx ACy ACz

ADx ADy ADz

=

=

0 2 2

2 2 0

2 0 2

=

= 0·2·2 + 2·0·2 + 2·2·0 - 2·2·2 - 2·2·2 - 0·0·0 =

= 0 + 0 + 0 - 8 - 8 - 0 = -16

Найдем объем пирамиды:

V = 1

6

· 16 = 8

3

Answer 2

Щоб обчислити об'єм піраміди АВСD, можна скористатися формулою об'єму піраміди, яка використовується для обчислення об'єму за координатами вершин. Формула має наступний вигляд:

V = (1/6) * |(x1y2z3 + x2y3z1 + x3y1z2 - x3y2z1 - x1y3z2 - x2y1z3)|

Де (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) - координати вершин піраміди.

Підставимо в дану формулу координати вершин піраміди АВСD:

V = (1/6) * |((-1 * 5 * 2) + (-1 * 5 * 4) + (1 * 3 * 2) - (1 * 5 * 2) - (-1 * 3 * 4) - (-1 * 5 * 2))|

Проведемо необхідні обчислення:

V = (1/6) * |(-10 + (-20) + 6 - 10 + 12 + 10)|

V = (1/6) * |(-32)|

V = (1/6) * 32

V = 32/6

V ≈ 5.3333

Отже, об'єм піраміди АВСD приблизно дорівнює 5.3333.