Question

Решить тригонометрическое уравнение cos(2x+π/4)=-√2/2

Answer 1

Ответ:

cos(2x - π/4) = - √2\2

________________

[ 2x - π/4 = arccos(-√2\2)

[ 2π - 2x + π/4 = arccos(-√2\2)

________________

[ 2x - π/4 = 3π/4 + 2πk; k ∈ Z

[ 9π/4 - 2x = 3π/4 + 2πk; k ∈ Z

________________

[ 2x  = π + 2πk; k ∈ Z

[ -2x = -3π/2 + 2πk; k ∈ Z

________________

[ x = π/2 + πk; k ∈ Z

[ x = 3π/4 + πk; k ∈ Z

Ответ: x = π/2 + πk; k ∈ Z и x = 3π/4 + πk; k ∈ Z

[ - ни в коем случае не система. Мы рассматриваем два случая.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы решить тригонометрическое уравнение cos(2x + π/4) = -√2/2, нам нужно найти все значения x, которые удовлетворяют данному уравнению. Давайте начнем с решения этого уравнения.

1. Начнем с тождества двойного угла для косинуса: cos(2x) = 2cos²(x) - 1. Заменяя cos(2x) в исходном уравнении, получаем: 2cos²(x) - 1 + π/4 = -√2/2.

2. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения: 2cos²(x) - √2/2 - 1 + π/4 = 0.

3. Объединим константы: 2cos²(x) - √2/2 + 3π/4 - 2/2 = 0.

4. Упростим: 2cos²(x) - √2/2 + 3π/4 - 1 = 0.

5. Теперь заметим, что -√2/2 является значением косинуса для угла (-3π/4). Заменим это значение в уравнении: 2cos²(x) - cos(-3π/4) + 3π/4 - 1 = 0.

6. Пользуясь формулой косинуса суммы, получаем: 2cos²(x) - [cos(π/4)cos(3π/4) + sin(π/4)sin(3π/4)] + 3π/4 - 1 = 0.

7. Упростим: 2cos²(x) - [√2/2 * (-√2/2) + √2/2 * √2/2] + 3π/4 - 1 = 0. 2cos²(x) - [(-1/2) + 1/2] + 3π/4 - 1 = 0. 2cos²(x) - 1 + 3π/4 - 1 = 0. 2cos²(x) + 3π/4 - 2 = 0.

8. Перенесем константы на другую сторону: 2cos²(x) = 2 - 3π/4.

9. Разделим обе стороны на 2: cos²(x) = (2 - 3π/4) / 2.

10. Упростим: cos²(x) = 1 - 3π/8.

11. Возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения: cos(x) = ±√(1 - 3π/8).

12. Мы получили выражение для cos(x). Теперь возьмем обратный косинус от обеих