Question

Найдите предел (√(x^2+1)+√(x^2-1))/x при x стремящемся к минус бесконечности

Answer 1

Спочатку ми помітимо, що у чисельнику ми маємо суму двох виразів з підкореневими виразами. З цієї причини, щоб використати правило Лопіталя, ми можемо помножити і поділити на √(x²):

(√(x²+1) + √(x²-1)) / x = (√(x²+1) + √(x²-1)) * √(x²) / (x * √(x²))

= (√(1 + 1/x²) + √(1 - 1/x²)) / (√(x²)/x)

Тепер, коли x стрімиться до мінус нескінченності, вираз 1/x² стрімиться до нуля, тому ми можемо проігнорувати його у підкореневих виразах:

= (√1 + √1) / (√(x²)/x)

= 2 / |x|

Таким чином, ми отримали вираз, який можна легко обчислити, коли x стрімиться до мінус нескінченності. Оскільки значення |x| зростає до нескінченності при цьому, то предел дорівнює нулю:

lim ((√(x²+1) + √(x²-1)) / x) = lim (2 / |x|) = 0, при x стрімиться до мінус нескінченності.

Answer 2

Чтобы найти предел данного выражения при x стремящемся к минус бесконечности, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя. Для этого найдем предел производной числителя и знаменателя по отдельности.

Начнем с числителя: lim(x -> -∞) √(x^2 + 1) + √(x^2 - 1)

Учитывая, что x стремится к минус бесконечности, мы можем проигнорировать единицу внутри квадратных корней:

lim(x -> -∞) √(x^2) + √(x^2) = √(x^2) + √(x^2) = |x| + |x| = 2|x|

Теперь рассмотрим знаменатель: lim(x -> -∞) x

Итак, мы получили предел числителя и знаменателя: lim(x -> -∞) 2|x| / x

Теперь мы можем воспользоваться правилом Лопиталя. Производная числителя равна 2, а производная знаменателя равна 1:

lim(x -> -∞) 2 / 1 = 2

Итак, предел выражения (√(x^2+1) + √(x^2-1))/x при x стремящемся к минус бесконечности равен 2.