Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=tgx, y=2/3cosx, x=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

В начале найдем правую абцису границы фигуры  - это точна пересечения tg x и 2/3*cos(x)

tg x= 2/3*cos x

sin x / cos x= 2/3 * cos x

sin x = 2/3 (cos x)^2,

в правой части cos x выражаем через sin x (cos^2+sin^2=1)

sin x = 2/3 (1 - (sin x)^2)

Решаем как квадратное уравнение относительно синуса,

sin x = 0.5, или sin x =-2

второй корень нам не нужен, т.к. насколько понимаю фигура идет вправо. Получаем, что

x=Pi/6;

Чтобы найти площадь под фигурой берем интеграл. Интеграл найдет площади под каждой кривой, а наша фигура - это разница этих площадей (см рисунок). Знаем, что тангенс идет из 0, а Cos из единицы, поэтому Cos -верхняя граница, Tan - нижняя.

Берем интегралы от данных по условию функций от 0 до Pi/6

int (2/3*Cos[x])=2/3Sin[x]

Подставляем пределы получаем 2/3Sin[Pi/6]=1/3-0=1/3

Тоже самое делаем для тангенса, получаем

int (tan[x])=-Ln [Cos x] подставляем пределы и получаем

-Ln[Cos(Pi/6)]+Log [Cos (0)];

упрощаем получаем -Ln[sqrt[3]/2]+Ln[1]=-Ln[sqrt[3]/2]

Тогда, искомая площадь F=F1-F2

1/3-(-Ln[sqrt[3]/2])=1/3+Ln[sqrt[3]/2]

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y = tg(x), y = (2/3)cos(x) и x = 0, мы должны найти точки пересечения этих графиков и затем вычислить определенный интеграл между этими точками.

Для начала найдем точки пересечения графиков функций y = tg(x) и y = (2/3)cos(x):

tg(x) = (2/3)cos(x)

Применим тригонометрическую тождественность tg(x) = sin(x)/cos(x):

sin(x)/cos(x) = (2/3)cos(x)

Умножим обе части уравнения на cos(x):

sin(x) = (2/3)cos^2(x)

Используя тригонометрическую тождественность sin^2(x) + cos^2(x) = 1, заменим sin^2(x) в уравнении:

1 - cos^2(x) = (2/3)cos^2(x)

Перегруппируем и приведем подобные члены:

(5/3)cos^2(x) = 1

cos^2(x) = 3/5

cos(x) = sqrt(3/5)

Так как x = 0, точка пересечения графиков находится при x = π/2, так как cos(x) > 0 в первом квадранте.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя определенный интеграл. Поскольку границы фигуры - это x = 0 и x = π/2, мы будем интегрировать по оси x.

Площадь фигуры будет равна:

S = ∫[0, π/2] (tg(x) - (2/3)cos(x)) dx

Интегрируем это выражение для нахождения площади фигуры. Поскольку это сложный интеграл, его решение будет довольно сложным и требует численных методов. Для решения этого интеграла рекомендуется использовать численные методы, такие как метод тrapеций или метод Симпсона, чтобы получить приближенное значение площади фигуры.

Если вы хотите точное аналитическое решение, могу порекомендовать вам обратиться к специализированным математическим программам или символьным вычислительным пакетам, таким как Mathematica или Maple, которые могут вычислить этот интеграл аналитически.