Question

Найдите наименьшее значение функции y=5x-ln(x+3)5 на отрезке [-2.5; 0].

Answer 1

ОДЗ х∈(-3;+∞)

у'=(5х-㏑(х+3)⁵)'=5-(5ln(х+3))'=5*(1-1/(x+3)=0; х≠-3; х+3-1=0; х=-2∈ОДЗ,

____-3_____-2_____________

            -                   +

х=-2 ∈ [-2.5; 0].

у(-2.5)=5*(-2.5)-ln(-2.5+3)⁵=-12.5-5ln0.5;

у(-2)=5*(-2)-ln(-2+3)⁵=-10-ln1=-10;-наименьшее значение на заданном отрезке

у(0)=0-5ln3=-5ln3

     

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном отрезке, мы можем использовать метод дифференцирования. Дифференцируем функцию y = 5x - ln(x + 3)5, чтобы найти точку, в которой производная равна нулю.

Дифференцируя функцию y по переменной x, получим:

dy/dx = 5 - 5/(x + 3)

Для нахождения точки экстремума функции, приравняем производную к нулю:

5 - 5/(x + 3) = 0

Умножим обе части уравнения на (x + 3):

5(x + 3) - 5 = 0

5x + 15 - 5 = 0

5x + 10 = 0

5x = -10

x = -2

Таким образом, точка экстремума находится при x = -2.

Теперь нам нужно проверить значения функции на концах отрезка [-2.5, 0] и в точке экстремума x = -2, чтобы найти наименьшее значение.

Для x = -2.5:

y = 5(-2.5) - ln(-2.5 + 3)^5 = -12.5 - ln(0.5)^5 ≈ -12.5 - 2.351 ≈ -14.851

Для x = -2:

y = 5(-2) - ln(-2 + 3)^5 = -10 - ln(1)^5 = -10 - 0 = -10

Для x = 0:

y = 5(0) - ln(0 + 3)^5 = 0 - ln(3)^5 ≈ -4.111

Наименьшее значение функции получается при x = -2, и оно равно -10.