Question

5. Решить уравнения: y" — 4y' +4y = 0​

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение это однородное диф. уравнение с постоянными коэффициентами. Воспользуемся заменой Эйлера:

$y=e^{kx}$, получим характеристическое уравнение:

$k^2-4k+4=0~~~\Rightarrow~~~~ (k-2)^2=0~~~\Rightarrow~~~ k=2$

Общее решение дифференциального уравнения:

$y=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}$

Answer 2

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Чтобы решить его, предположим, что решение имеет вид y = e^(rt), где r - неизвестная константа.

Подставим это предположение в исходное уравнение:

y" - 4y' + 4y = 0

Получим:

(r^2)e^(rt) - 4(re^(rt)) + 4e^(rt) = 0

Теперь вынесем общий множитель e^(rt) из каждого слагаемого:

e^(rt)((r^2) - 4r + 4) = 0

Так как e^(rt) никогда не равно нулю, получаем:

(r^2) - 4r + 4 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:

r = -(-4) / (2(1)) = 4 / 2 = 2

Таким образом, уравнение имеет единственное решение r = 2. Следовательно, общее решение уравнения y" - 4y' + 4y = 0 имеет вид:

y = C1e^(2t) + C2te^(2t),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.