Question

Вдоль прямой аллеи через равные промежутки стоят 400 фонарей, пронумерованные по порядку числами от 1 до 400. Одновременно с разных концов аллеи навстречу друг другу с разными постоянными скоростями вышли Алла и Борис (Алла — от первого фонаря, Борис — от четырехсотого). Когда Алла была у 55‑го фонаря, Борис был у 321‑го фонаря. У какого фонаря произойдет их встреча? Если встреча произойдет между двумя фонарями, то в ответе укажите меньший номер из этих двух.

Answer 1

Ответ: встреча произойдет у 134 фонаря.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, можно воспользоваться принципом относительности и рассмотреть движение Аллы и Бориса относительно друг друга.

Пусть Алла идет со скоростью v_А, а Борис — со скоростью v_Б. Тогда время, которое проходит от начала движения до встречи, одинаково для обоих людей.

Пусть x — номер фонаря, у которого произойдет встреча. Тогда Алла пройдет x-1 фонарь за время, равное (x-1)/v_А, а Борис пройдет 400-x фонарей за время, равное (400-x)/v_Б. Оба этих выражения должны быть равны, так как время одинаково.

(x-1)/v_А = (400-x)/v_Б

Мы также знаем, что к моменту встречи Алла находилась у 55-го фонаря, а Борис — у 321-го фонаря. Подставим эти значения в уравнение:

(55-1)/v_А = (400-321)/v_Б

54/v_А = 79/v_Б

Учитывая, что числа v_А и v_Б постоянные, мы можем сократить дроби и получить:

v_А/v_Б = 54/79

Теперь, чтобы решить эту задачу, нам необходимо найти такие взаимно простые числа, разность которых равна 400 и которые удовлетворяют соотношению v_А/v_Б = 54/79.

Рассмотрим числа 54 и 79. Их разность равна 25, что не является делителем 400. Попробуем умножить эти числа на некоторую константу, чтобы их разность стала делителем 400.

Умножим 54 на 8 и 79 на 8:

432 и 632

Разность этих чисел равна 200, что является делителем 400. Теперь мы можем найти фонарь, у которого произойдет встреча:

x-1 = 200

x = 201

Таким образом, встреча Аллы и Бориса произойдет у 201-го фонаря.