Question

Отличник Поликарп составил огромное число , выписав подряд натуральные числа от 1 до  500 : 123... 10111213 ... 499500 . Двоечник Колька стер у этого числа первые 500 цифр . Как вы думаете , с какой цифры начинается оставшееся число ? 

Answer 1

9 цифр+2*90 цифр =189 первых цифр принадлежат однозначным и двузначным числам.
остаётся стереть 311 цифр. Если бы стереть ту (312-ю) , о которой вопрос, то трехзначных чисел бесследно уничтожено 104, начиная счисла 100..
99+104=203. Столько чисел уничтожено.
Последнее частично стёртое число 203, и с его последней нестертой цифры начинается остаток на доске.
3204205206....
Цифра 3.

Answer 2

Оставшихся цифр будет $499 \cdot 3 = 1497$ штук. Поскольку первые 9 единиц всегда перечисляются полностью, то мы можем вычесть 9 из нашего числа оставшихся цифр: $1497 - 9 = 1488$. Заметим, что первые две цифры каждого числа содержат каждую из десяти цифр по одному разу. Значит, число из 2 цифр содержит 20 цифр в первых двух разрядах, число из 3 цифр содержит 30 цифр, и так далее. Таким образом, первые $2+3+4+\dots+49 = 1225$ цифр отведены для чисел от 1 до 49 включительно, и осталось $263$ цифры для оставшихся чисел. Первое из них - число 50, которое занимает 2 цифры на первых местах (5 и 0), и остается $261$ цифра. Эта цифра находится внутри числа 51 и является 262-й цифрой последовательности. Значит, оставшееся число начинается с цифры $\boxed{3}$.