Question

  Найдите наибольшее значение функции y=16tgx-16x+4п-5  на отрезке [-п/4;п/4].

Answer 1

Ответ:

Наибольшее значение функции 11

Пошаговое объяснение:

Стандартный алгоритм нахождения наибольшего значения функции y=f(x) на отрезке [a; b] следующее:

1) находим критические точки функции, которые входят в заданный отрезок [a; b], то есть найдем производную функции f(x) и находим нули производной на отрезке [a; b] (решаем уравнение f '(x)=0);

2) вычислим значения функции f(x) для критических точек из отрезка [a; b] и для граничных значений a и b;

3) ответом будут наибольшее значение среди полученных значений функции.

Дана функция y = 16·tgx–16·x+4·π–5 и отрезок [–π/4; π/4]. Область определения функции cosx≠0.

1) находим критические точки функции:

а) cosx= –1 ⇔ x = π+2·π·n, n∈z

–π/4 ≤ π+2·π·n ≤ π/4  ⇔ –1/4 ≤ 1+2·n ≤ 1/4  ⇔ –1/4–1 ≤ 2·n ≤ 1/4–1  ⇔

⇔ –5/4 ≤ 2·n ≤ –3/4  ⇔ –5/8 ≤ n ≤ –3/8  ⇔ n ∈ ∅

б) cosx= 1 ⇔ x = 2·π·m, m∈z

–π/4 ≤ 2·π·m ≤ π/4  ⇔ –1/4 ≤ 2·m ≤ 1/4  ⇔ –1/8 ≤ m ≤ 1/8  ⇔ m=0.

⇔ –5/4 ≤ 2·n ≤ –3/4  ⇔ –5/8 ≤ n ≤ –3/8  ⇔ n ∈ ∅

2) вычислим значения функции f(x) для критической точки x=0,  граничных точек x= –π/4 и x= π/4:

y(–π/4)= 16·tg(–π/4)–16·(–π/4)+4·π–5=16·(–1)+4·π+4·π–5=8·π–21

y(0)= 16·tg0–16·0+4·π–5=16·0–0+4·π–5=4·π–5

y(π/4)=  16·tg(π/4)–16·(π/4)+4·π–5=16·1–4·π+4·π–5=11

Среди найденных значений выбираем наибольшее, то есть:

y(π/4)=11.

Answer 2

Для решения задачи нужно найти точки экстремума функции на заданном отрезке. Для этого найдем производную функции y'=16(1+tg^2 x)-16=16tg^2 x. Производная равна нулю на отрезке [-п/4;п/4] только в точке x=0. Проверим, что это точка максимума, для чего рассмотрим знак второй производной. y''=32tgx*sec^2 x. В точке x=0 вторая производная равна нулю, но при x>0 она положительна, а при x<0 отрицательна. Значит, точка x=0 является точкой максимума функции y на отрезке [-п/4;п/4]. Подставляем x=0 в формулу функции y и получаем ответ: y(0)=4п-5. Ответ: 4п-5.