Question

В городе N есть ровно три памятника. Однажды в этот город приехала группа из 44 туристов. Каждый из них сделал не более одной фотографии каждого из трех памятников. Оказалось, что у любых двух туристов в совокупности есть фотографии всех трех памятников. Какое наименьшее количество фотографий могли суммарно сделать все туристы?

Answer 1

Ответ:

66

Пошаговое объяснение:

у двоих есть 3 фотографии. всего 44, всех 44 делим на два человека и умножаем на 3, т.к у них по 3 фотки и получаем 66 ответ.

Answer 2

Ответ:

2835

Пошаговое объяснение

Берём каждую пару 1 с 2 1 с 3

короче приходим к 43+42...+2

получаем вроде 945 честно не помню

умножаем на 3

PROFIT

Answer 3

Введем обозначения: пусть каждый памятник обозначается буквой $A$, $B$ или $C$, а каждый турист (их всего 44) обозначается цифрой от 1 до 44. Обозначим $a_i$ количество памятников, сфотографированных туристом $i$. Тогда условие задачи можно переформулировать так: для любых двух туристов $i$ и $j$ ($1\leq i,j\leq 44$) множество фотографий, которые они сделали в совокупности, должно содержать все три памятника. Другими словами, для любых двух туристов $i$ и $j$ найдется такой третий турист $k$, что фотографии $i$ и $j$ плюс фотографии $k$ содержат все три памятника. Формально:
$$\forall i,j\in\{1,2,\ldots,44\}\qquad\exists k\in\{1,2,\ldots,44\}\colon \{a_i,a_j,a_k\}=\{A,B,C\}.$$
Заметим, что если для некоторых двух туристов $i$ и $j$ оказалось, что $a_i=a_j=3$ (то есть каждый из них сфотографировал все три памятника), то остальные 42 туриста ничего фотографировать не должны, чтобы удовлетворять условию задачи. В самом деле, фотографии каждого из этих 42 туристов могут не входить в множества $\{a_i,a_j\}$ для всех туристов $i$ и $j$, так как условие задачи выполнено автоматически (так как $\{a_i,a_j,A,B,C\}=\{A,B,C\}$).


Будем предполагать, что никакие двое туристов не сфотографировали все три памятника. Обозначим через $t$ наименьшее количество фотографий, которые сделали туристы. Тогда:
$$t=\sum_{i=1}^{44} a_i.$$
Заметим, что каждый из 44 туристов должен сфотографировать хотя бы один памятник, иначе его нельзя было бы включить в множество $k$ в условии задачи. Следовательно, $t\geq 44$. С другой стороны, каждый из памятников должен быть сфотографирован хотя бы одним туристом, иначе его нельзя было бы включить в множество $A$, $B$ или $C$ в условии задачи. Следовательно, $t\geq 3$. Объединяя эти неравенства, получаем $t\geq 44+3=47$.

Докажем, что $t=47$ возможно. Построим такую конфигурацию фотографий, в которой каждый турист фотографирует не более одного памятника, и при этом для любых двух туристов множество фотографий, которые они сделали в совокупности, содержит все три памятника.

Разобьем туристов на три равные группы (по 14 туристов в каждой) и пусть $i$, $j$ и $k$ - номера групп. Тогда турист $l$ из группы $i$ должен сфотографировать памятник $A$, фотографии его из группы $j$ должны содержать памятник $B$, а фотографии его из группы $k$ должны содержать памятник $C$ (см. рисунок).

[asy]
size(200);
label("$A$",(0,-2));
label("$B$",(5,-2));
label("$C$",(10,-2));
draw(circle((1,1),1));
draw(circle((6,1),1));
draw(circle((11,1),1));
draw((1,-1)..(4,-1)--(5,-1)..(6,-1),dashed);
draw((6,-1)..(9,-1)--(10,-1)..(11,-1),dashed);
label("14 туристов",(1,-2.5));
label("14 туристов",(6,-2.5));
label("14 туристов",(11,-2.5));
label("$i$",(1,-4));
label("$j$",(6,-4));
label("$k$",(11,-4));
[/asy]

Тогда у всех туристов из группы $i$ будет фотография памятника $A$, у всех туристов из группы $j$ будет фотография памятника $B$, а у всех туристов из группы $k$ будет фотография памятника $C$. Далее для каждой пары групп $(i,j)$ (три пары всего) выберем произвольно по одному туристу из каждой группы, и пусть это будут туристы $m$, $n$ и $p$ соответственно (см. рисунок). Тогда у этих трех туристов будет фотография каждого из трех памятников, и мы можем сказать, что у любых двух туристов в совокупности есть фотографии всех трех памятников.

[asy]
size(200);
label("$A$",(0,-2));
label("$B$",(5,-2));
label("$C$",(10,-2));
draw(circle((1,1),1));
draw(circle((6,1),1));
draw(circle((11,1),1));
draw((1,-1)..(4,-1)--(5,-1)..(6,-1),dashed);
draw((6,-1)..(9,-1)--(10,-1)..(11,-1),dashed);
label("14 туристов",(1,-2.5));
label("14 туристов",(6,-2.5));
label("14 туристов",(11,-2.5));
label("$i$",(1,-4));
label("$j$",(6,-4));
label("$k$",(11,-4));
draw((2,0)--(5,0),Arrows);
label("$m$",(2,-6));
label("$n$",(3.5,-6));
label("$p$",(5,-6));
[/asy]

Таким образом, мы нашли конфигурацию, в которой суммарно было сделано 47 фотографий, и все условия задачи выполнены. Следовательно, ответ: $\boxed{47}$.