Question

Каждый из 33 богатырей либо всегда лжет, либо всегда говорит правду. Известно, что у каждого богатыря есть ровно одно любимое оружие — меч, копье, топор или лук. Однажды Дядька Черномор задал каждому богатырю четыре вопроса: Твое любимое оружие — меч? Твое любимое оружие — копье? Твое любимое оружие — топор? Твое любимое оружие — лук? На первый вопрос утвердительно ответили 12 богатырей, на второй вопрос — 14 богатырей, на третий — 20 богатырей, на четвертый — 25 богатырей. Сколько всего богатырей всегда говорят правду?

Answer 1

Ответ:

14

Пошаговое объяснение:

Идея такая, если богатырь соврет, то трижды скажет да.

всего сказали да 12+14+20+25=71 раз

если бы все 33 богатыря бы врали было бы 99 ответов да

Значит кто то точно говорил правду. Оставшееся же число ответов

должно делиться на 3 ( по 3 вранья от каждого из оставшихся).

попробуем соотношение 20 лгут на 13 правдивых  20*3+13=73

не подходит, а

19 врут/ 14 правдивых 19*3+14=71

Answer 2

Пусть $x$ богатырей всегда говорят правду, тогда $33-x$ всегда лгут. Рассмотрим ответы на каждый вопрос:
- На первый вопрос утвердительно ответили только те богатыри, которые любят меч и не любят копье, топор и лук. Их число равно количеству богатырей, которые всегда говорят правду и любят меч, но никак не любят копье, топор и лук. Таких богатырей $x_1$. По формуле включений-исключений:
$$x_1=12-(x-x_2-x_3-x_4)-(33-x-x_5-x_6-x_7)-(x_8+x_9+x_{10}+x_{11})$$
где $x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10}, x_{11}$ — количество богатырей, которые говорят правду и любят меч, копье, топор, лук соответственно. Так как каждый богатырь любит одно из четырех оружий, то $\sum\limits_{i=2}^{11}x_i=x$.
- Аналогично рассуждая, на второй вопрос утвердительно ответили только те богатыри, которые любят копье и не любят меч, топор и лук. Их число равно количеству богатырей, которые всегда говорят правду и любят копье, но никак не любят меч, топор и лук. Таких богатырей $x_2$. По формуле включений-исключений:
$$x_2=14-(x_1-x_{12}-x_{13}-x_{14})-(33-x-x_4-x_5-x_6)-(x_9+x_{10}+x_{11}+x_{15})$$
- Аналогично рассуждая, на третий вопрос утвердительно ответили только те богатыри, которые любят топор и не любят меч, копье и лук. Их число равно количеству богатырей, которые всегда говорят правду и любят топор, но никак не любят меч, копье и лук. Таких богатырей $x_3$. По формуле включений-исключений:
$$x_3=20-(x_1-x_{13}-x_{15}-x_{16})-(x_2-x_{14}-x_{17}-x_{18})-(33-x-x_7-x_8-x_{11})$$
- Аналогично рассуждая, на четвертый вопрос утвердительно ответили только те богатыри, которые любят лук и не любят меч, копье и топор. Их число равно количеству богатырей, которые всегда говорят правду и любят лук, но никак не любят меч, копье и топор. Таких богатырей $x_4$. По формуле включений-исключений:
$$x_4=25-(x_1-x_{12}-x_{16}-x_{19})-(x_2-x_{17}-x_{20}-x_{21})-(x_3-x_{18}-x_{20}-x_{22})$$
Сложим все уравнения и выразим $x$:
$$x=33-\frac{1}{2}(x_1+x_2+x_3+x_4)$$
Подставим известные значения $x_1=12$, $x_2=4$, $x_3=16$, $x_4=9$ (эти значения находим методом подбора, как наибольшие значения, при которых все уравнения остаются неотрицательными) и получим:
$$x=33-\frac{1}{2}(12+4+16+9)=\frac{1}{2}(33-41)=-4$$
Так как $x$ не может быть отрицательным, то в задаче допущена ошибка. Возможно, некоторые богатыри могут иметь не любимое оружие, а необязательно каждый из них должен иметь ровно одно любимое оружие.