Question

Найдите : cos 4a, если tg 2a = 8​

Answer 1

Ответ:

cos²2a=1:(1+tg²2a)=1:(1+9)=1/10

cos4a=2cos²2a-1=2*1/10-1=1/5-1=-4/5=-0,8

sin4a=+-√(1-cos²4a)=√(1-0,64)=+-0,6

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Так как $\tan 2a = 8$, мы можем использовать связи между тангенсом и синусом и косинусом двойного угла, чтобы выразить $\sin 2a$ и $\cos 2a$. Для этого мы сначала найдем значение $\sin 2a$:

$$\tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a} = 8$$

Решим уравнение:

$$2 \tan a = 8 - 8 \tan^2 a$$

$$8 \tan^2 a + 2 \tan a - 8 = 0$$

$$4 \tan^2 a + \tan a - 4 = 0$$

$$(4 \tan a - 1)(\tan a + 4) = 0$$

Отсюда получаем два решения:

$$\tan a = \frac{1}{4}$$

или

$$\tan a = -4$$

Но мы также знаем, что $0 < a < \frac{\pi}{4}$ (так как $\tan 2a > 0$). Значит единственным подходящим решением является $\tan a = \frac{1}{4}$.

Теперь мы можем выразить $\cos 2a$:

$$\cos 2a = \frac{1 - \tan^2 2a}{1 + \tan^2 2a} = \frac{1 - (\frac{1}{4})^2}{1 + (\frac{1}{4})^2} = \frac{15}{17}$$

Наконец, мы можем выразить $\cos 4a$:

$$\cos 4a = 2 \cos^2 2a - 1 = 2 (\frac{15}{17})^2 - 1 = \boxed{\frac{209}{289}}$$