Question

Найти остаток от деления числа 1·3·5+7·9·11+13·15·17 на 4

Answer 1

Ответ:

3

Пошаговое объяснение:

1*3*(4+1)+7*11*(8+1)+13*15*(16+1)  имет тот же остаток, что и

3+7*11+13*15=3+8*11-11+12*15+15=

3+8*11+12*15-4=3+4*(22+45-1)=3+4*66

Остаток равен 3

Answer 2

Вычислим значение выражения $1\cdot 3\cdot 5+7\cdot 9\cdot 11+13\cdot 15\cdot 17$ по модулю 4. Заметим, что каждый из трёх множителей является нечётным числом, т.е. имеет вид $2n+1$ для некоторого целого числа $n$. Поэтому произведение трёх таких чисел можно записать в виде $$(2n+1)\cdot(2m+1)\cdot(2k+1) = 2(2n\cdot m + 2m\cdot k + 2k\cdot n + n+m+k) + 1.$$ Здесь правая часть равенства имеет вид $2p+1$ для некоторого целого числа $p$, т.е. произведение трёх нечётных чисел равно нечётному числу.

Таким образом, выражение $1\cdot 3\cdot 5+7\cdot 9\cdot 11+13\cdot 15\cdot 17$ равно сумме трёх нечётных чисел и, значит, даёт остаток 3 при делении на 4. Ответ: $\boxed{3}$.