Question

найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов

Answer 1

Решение
Vk = (1/3)Sосн*h
Vкон = (1/3)πr²h, где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы. Поэтому h = (1/2) l = 1, где l = 2 образующая конуса
Из этого же прямоугольного треугольника находим r
r = √(l² - h²) = √(2² - 1²) = √(4 - 1) = √3
Vk = (1/3)*π * (√3)² * 1 = (1/3)*π * 3 = π

Answer 2

Для нахождения объема конуса необходимо знать формулу:

V = (1/3) * π * r^2 * h

где r - радиус основания, h - высота конуса.

Для решения задачи нужно найти радиус основания конуса. Образующая конуса (l) равна 2, а угол наклона к плоскости основания - 30 градусов.

Рассмотрим правильный треугольник АВС, где С - вершина конуса, А и В - точки пересечения образующей с плоскостью основания (см. рисунок).


Так как угол между образующей и плоскостью основания равен 30 градусов, то угол между образующей и биссектрисой треугольника АВС равен 15 градусов. Заметим также, что биссектриса (ВМ) делит основание треугольника АВС на две равные части.

Тогда получаем:

tan(15°) = AM/AC,
где АМ - половина основания, АС - радиус окружности, описанной вокруг основания.
tan(15°) = (1/2 * r) / r
√3 - 1 = r/AC
AC = r/(√3 - 1)

Найдем теперь высоту конуса (h). Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника АΒС:

h^2 + (AC)^2 = (AB)^2,
где AB = 2.

Подставляем выражение для AC и решаем уравнение относительно h:

h^2 + (r/(√3 - 1))^2 = 4
h^2 = 4 - (r/(√3 - 1))^2

Используем найденные значения r и h для вычисления объема конуса:

V = (1/3) * π * r^2 * h
V = (1/3) * π * r^2 * (4 - (r/(√3 - 1))^2)

Подставляем значение r:

V = (1/3) * π * (2/ (√3 - 1))^2 * (4 - ((2/ (√3 - 1))^2/(√3 - 1))^2)

Выражаем ответ в численном виде:

V ≈ 3.67.

Ответ: объем конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов, равен примерно 3.67. Единицы измерения - кубические единицы длины.