Question

доказать: sin3A=3sinA-4sin^3A

Answer 1

sin3α = sin(α+2α) = sinα·cos2α + cosα·sin2α = sinα·(cos²α - sin²α) + cosα·(2sinαcosα) = cos²αsinα - sin³α + 2cos²αsinα = 3cos²αsinα - sin³α =
=3sinα(1 - sin²α) - sin³α = 3sinα - 3sin³α - sin³α = 3sinα - 4sin³α

Answer 2

Используем формулу тройного угла для синуса:

sin3A = 3sinA - 4sin^3A

Теперь докажем эту формулу.

Рассмотрим точку на единичной окружности, соответствующую углу A. Проведем радиус к этой точке и опустим перпендикуляр на ось x.

Тогда

sinA = y

cosA = x

Также заметим, что точка, соответствующая углу 3A, будет находиться на расстоянии 3A от точки, соответствующей углу A.

Проведем радиус к точке на единичной окружности, соответствующей углу 3A. Он составит угол 3A с осью x и пересечет ее в точке с координатами (cos3A, sin3A).

Но также мы можем представить этот радиус в виде суммы трех радиусов, соответствующих углам A:

AC + CD + DE

где

AC = cos2A

CD = sin2A

DE = sinA

Тогда, воспользовавшись тригонометрическими формулами для косинуса и синуса двойного угла:

cos3A = cos2A * cosA - sin2A * sinA

= (1 - 2sin^2A) * cosA - 2sinA * cos^2A

= cosA - 4sin^2A * cosA

= cosA - 4(1 - cos^2A) * cosA

= 4cos^3A - 3cosA

sin3A = sin2A * cosA + cos2A * sinA

= 2sinA * cos^2A + (1 - 2sin^2A) * sinA

= 2sinA * cos^2A + sinA - 2sin^3A

= sinA(3 - 4sin^2A)

= 3sinA - 4sin^3A

Таким образом, мы доказали формулу sin3A = 3sinA - 4sin^3A.