Question

Найти производную y = (ln (x^{2} + 2x + 3)^{sin^{3}x})

Answer 1

$(ln(x^{2}+2x+3)^{sin^{3}x})'=(sin^3x*ln(x^2+2x+3))'=(sin^3x)'ln(x^2+2x+3)+(ln(x^2+2x+3))'sin^3x=3sin^2x*(sinx)'ln(x^2+2x+3)+\frac{1}{x^2+2x+3}*(x^2+2x+3)'sin^3x=3sin^2x*cosx*ln(x^2+2x+3)+\frac{2x+2}{x^2+2x+3}*sin^3x$

Answer 2

Для нахождения производной функции y, данной в виде y = (ln (x^{2} + 2x + 3)^{sin^{3}x}), мы должны использовать правило производной сложной функции (chain rule) и правило производной натурального логарифма (derivative of natural logarithm rule).

Давайте сначала найдем производную внутренней функции, которая возводит выражение в степень sin^{3}x:

f(x) = x^{2} + 2x + 3 g(x) = sin^{3}x h(x) = f(x)^{g(x)}

Применяя правило производной сложной функции, мы получаем:

h'(x) = f'(x)g(x)f(x)^{g(x)-1} + f(x)^{g(x)}ln(f(x))g'(x)

Теперь мы можем подставить значения для f(x), g(x) и h(x):

f(x) = x^{2} + 2x + 3 g(x) = sin^{3}x h(x) = (ln (x^{2} + 2x + 3)^{sin^{3}x})

h'(x) = (x^{2} + 2x + 3)^{sin^{3}x} * ln(x^{2} + 2x + 3) * 3sin^{2}x * cosx / (x^{2} + 2x + 3) + (x^{2} + 2x + 3)^{sin^{3}x-1} * ln(x^{2} + 2x + 3) * sin^{3}x * (2x+2)

Таким образом, производная функции y выглядит следующим образом:

y' = h'(x) = (x^{2} + 2x + 3)^{sin^{3}x} * ln(x^{2} + 2x + 3) * 3sin^{2}x * cosx / (x^{2} + 2x + 3) + (x^{2} + 2x + 3)^{sin^{3}x-1} * ln(x^{2} + 2x + 3) * sin^{3}x * (2x+2)

Окончательный ответ:

y' = (x^{2} + 2x + 3)^{sin^{3}x-1} * ln(x^{2} + 2x + 3) * (sin^{3}x * (2x+2) + 3sin^{2}x * cosx) / (x^{2} + 2x + 3)