Question

При каких целых значениях N число N2-71 делится на 7N+55?

Answer 1

Ответ:

-8

57

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для того чтобы число $N^2-71$ было кратно $7N+55$, необходимо, чтобы выполнялось равенство $N^2-71=k(7N+55)$ для некоторого целого числа $k$. Переписываем это равенство в виде квадратного уравнения относительно $N$:

$$N^2-7kN-71-55k=0.$$

Дискриминант этого уравнения должен быть полным квадратом, т.е. $49k^2+4(71+55k)=m^2$ для некоторого целого числа $m$. Это уравнение можно переписать в виде

$$(7k+2)^2-4\cdot 23 = m^2,$$

или

$$(7k+2-m)(7k+2+m) = 4\cdot 23.$$

Так как $23$ простое число, то $4\cdot 23$ можно представить в виде произведения двух множителей только двумя способами: $4\cdot 23=2\cdot 46=1\cdot 92$. Подставляя эти значения в уравнение выше, получаем систему уравнений:

$$\begin{cases} 7k+2-m = 1, \\ 7k+2+m = 92, \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 7k+2-m = 2, \\ 7k+2+m = 46. \end{cases}$$

Первое уравнение первой системы даёт $m=7k+1$, а второе даёт $k=13$, откуда $m=92$. Это даёт решение $N=13\cdot (7\cdot 13+2+92)/2=357$, которое можно проверить непосредственно. Второе уравнение второй системы даёт $m=7k$, а первое даёт $k=5$, откуда $m=37$. Это даёт решение $N=5\cdot (7\cdot 5+2-37)/2=-55$, которое также можно проверить непосредственно.

Таким образом, решениями данного уравнения являются $N=-55$ и $N=357$.