Question

Cтороны AB и BC треугольника ABC касаются написанной в него окружности в точках D и E. Докажите, что если AD=CE, то этот треугольник равнобедреный. Заранее спасибо за решение)

Answer 1

Чертеж с тем, что нам дано изначально, в прикрепленных файлах.

По условию дано, что AD=EC. Интересующие нас стороны - это AB и BC. Равные по условию отрезки являются их частями => AB-BD=BC-BE.

Поэтому для доказательства равенства AB и BC нам нужно лишь доказать равенство отрезков BD и BE.

AB и BC треугольника ABC являются двумя касательными к окружности, причем из 1 точки B. Применяем свойство двух касательных к окружности из 1 точки: Если две касательные к одной окружности исходят из 1 точки, то равны отрезки из этой точки до самой окружности. BD и BE - это отрезки из B до окружности => они равны.

Answer 2

Рассмотрим треугольник ABC и его вписанную окружность. Пусть точки касания окружности с сторонами AB и BC обозначены как D и E соответственно. Также пусть AD = CE.

Поскольку точки D и E являются точками касания окружности с соответствующими сторонами треугольника ABC, то мы знаем, что отрезки AD и CE являются биссектрисами углов в точках D и E соответственно. Таким образом, мы можем записать:

$\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CE}$

$\frac{BC}{BE} = \frac{AC}{AD}$

Заметим, что мы также можем записать:

$BD = BE$

Это следует из того, что эти два отрезка являются радиусами окружности, и поэтому они равны между собой.

Теперь мы можем использовать эти уравнения, чтобы получить:

$\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CE} = \frac{BC}{BE}$

Из этого следует, что AB/BD = BC/BE. Поскольку BD = BE, то мы получаем AB = BC. Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным, что и требовалось доказать.