Question

Решить систему дифференциальных уравнений x'=x-3y y'=3x-y

Answer 1

Вот держи ;) Понадобится.

Answer 2

Для решения этой системы дифференциальных уравнений мы можем использовать методы линейной алгебры.

Сначала найдем матрицу коэффициентов системы:

A = [ 1 -3 ] [ 3 -1 ]

Затем найдем собственные значения матрицы A:

det(A - λI) = 0 (1 - λ)(-1 - λ) - 9 = 0 λ^2 - 4 = 0 λ1 = 2, λ2 = -2

Таким образом, у нас есть два собственных значения, которые будут использоваться для нахождения собственных векторов.

Сначала найдем собственный вектор для λ1 = 2:

(A - 2I)v1 = 0 [ -1 -3 ] [ x ] = [ 0 ] [ 3 -3 ] [ y ] = [ 0 ]

Это даёт уравнение -x - 3y = 0 и 3x - 3y = 0. Решая это уравнение, мы получаем v1 = [1, 1].

Затем найдем собственный вектор для λ2 = -2:

(A + 2I)v2 = 0 [ 3 -3 ] [ x ] = [ 0 ] [ 3 -3 ] [ y ] = [ 0 ]

Это даёт уравнение 3x - 3y = 0 и 3x - 3y = 0. Решая это уравнение, мы получаем v2 = [1, -1].

Теперь мы можем использовать эти собственные векторы для построения общего решения системы дифференциальных уравнений.

Пусть

x = c1v1[0]e^(λ1t) + c2v2[0]e^(λ2t) y = c1v1[1]e^(λ1t) + c2v2[1]e^(λ2t)

Здесь c1 и c2 - произвольные постоянные.

Подставляя значения λ1, λ2, v1 и v2, мы получаем:

x = c1e^(2t) + c2e^(-2t) y = c1e^(2t) - c2e^(-2t)

Таким образом, общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид:

x = c1e^(2t) + c2e^(-2t) y = c1e^(2t) - c2e^(-2t)