Question

числа x y z являются различными цифрами, отличными от 0. числа x y z увеличили на 1, 2, 3. на сколько максимально могла уменьшится сумма 1/x-1/y+1/z

Answer 1

увеличится на 2, решение во вложении

Answer 2

Для начала, заметим, что из-за условия на цифры x, y, z, мы можем записать 1/x, 1/y, 1/z в следующем виде:

1/x = 0.a 1/y = 0.b 1/z = 0.c

где a, b, c - некоторые различные цифры от 1 до 9.

После того, как мы увеличили числа x, y, z на 1, 2, 3, мы можем записать их в следующем виде:

x + 1 = p y + 2 = q z + 3 = r

где p, q, r - также различные цифры от 1 до 9.

Теперь мы можем записать новые значения 1/(x+1), 1/(y+2), 1/(z+3) следующим образом:

1/(x+1) = 0.(a+1) 1/(y+2) = 0.(b+2) 1/(z+3) = 0.(c+3)

Заметим, что сумма 1/x-1/y+1/z может быть переписана в виде:

1/x - 1/y + 1/z = (z - y + x)/(xyz)

Тогда после замены чисел на их новые значения, мы получим:

1/(x+1) - 1/(y+2) + 1/(z+3) = (z+3 - (y+2) + (x+1))/((x+1)(y+2)(z+3)) = (z - y + x + 2)/((x+1)(y+2)(z+3))

Таким образом, чтобы максимально уменьшить сумму 1/x-1/y+1/z, нам нужно максимально уменьшить выражение (z - y + x + 2). Заметим, что x, y, z - различные цифры от 1 до 9, поэтому максимальное значение выражения (z - y + x) равно 9 - 1 + 8 = 16. Тогда максимально возможное значение выражения (z - y + x + 2) равно 18.

Таким образом, чтобы максимально уменьшить сумму 1/x-1/y+1/z, нам нужно максимально уменьшить выражение (z - y + x + 2), то есть выбрать x = 9, y = 1 и z = 8. В этом случае, новые значения 1/(x+1), 1/(y+2), 1/(z+3) будут равны 0.(10), 0.(33) и 0.(46) соответственно. Тогда сумма 1/x-1/y+1/z будет равна:

(z - y + x)/(xyz) = (8 - 1 + 9)/(9 * 2 * 11) = 16/198 = 8/99

Таким образом, м