Question

На доске записано 17 натуральных чисел. Известно, что сумма любых трех из них не меньше 91. Найдите наименьшее возможное значение суммы всех чисел, записанных на доске.

Answer 1

Ответ:

сумма всех чисел 525 --- если числа могут повторяться

сумма всех чисел 646 --- если числа НЕ могут повторяться

Пошаговое объяснение:

На доске записано 17 натуральных чисел

не сказано что они не могут не повторяются!!!

Вариант решения 1 --- числа могут повторяться

91:3=30,(3)

числа: 31,31,31,31,31,31,31,31,31,31,31,31,31,31,31,31,31

их сумма---31*17=527

эту сумму можно уменьшить, если два числа 31 заменить на 30 (т.к. 30+30+31=91 - это не меньше 91!!)

числа: 30,30,31,31,31,31,31,31,31,31,31,31,31,31,31,31,31

сумма: 30+30+31*15=60+465=525

Вариант решения 2 --- числа не могут повторяться

числа: 30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46

их сумму вычислим по формуле арифметической прогрессии:

S₁₇=(30+46)*17:2 = 646

Ответ:

сумма всех чисел 525 --- если числа могут повторяться

сумма всех чисел 646 --- если числа НЕ могут повторяться

Answer 2

Рассмотрим сумму всех чисел на доске. Она состоит из суммы всех возможных троек чисел на доске, каждая из которых по условию не меньше 91, то есть:

$S = \sum_{i=1}^{15} \sum_{j=i+1}^{16} \sum_{k=j+1}^{17} (a_i + a_j + a_k)$

Заметим, что каждое число на доске входит в сумму ровно $12$ раз (в $4$ тройки, не содержащие это число, и для каждой из этих троек есть две другие тройки, содержащие это число). Поэтому:

$S = 12 \sum_{i=1}^{17} a_i$

Таким образом, нам нужно минимизировать сумму $a_i$ при условии, что сумма любых трех из них не меньше 91. Для этого можно воспользоваться неравенством о среднем арифметическом и среднем гармоническом:

$\frac{a_i + a_j + a_k}{3} \geqslant \sqrt[3]{a_ia_ja_k} \quad \Longrightarrow \quad a_i + a_j + a_k \geqslant 3\sqrt[3]{a_ia_ja_k}$

Тогда, если сумма $a_i + a_j + a_k$ не меньше 91, то

$3\sqrt[3]{a_ia_ja_k} \leqslant a_i + a_j + a_k \leqslant 91$

Отсюда получаем, что произведение трех чисел на доске не больше $\left(\frac{91}{3}\right)^3 \approx 7535$. Теперь можем рассмотреть два случая:

1. Если все числа на доске не превосходят 14, то их сумма не меньше $17\cdot 14 = 238$.
2. Если есть хотя бы одно число на доске, большее 14, то из условия на произведение следует, что среди этих чисел не более одного. Пусть это число равно $k \geqslant 15$. Тогда сумма всех чисел на доске не меньше

$k + 16\cdot 14 \geqslant 15 + 16\cdot 14 = 239$

Таким образом, наименьшее возможное значение суммы всех чисел на доске равно 239. Это значение достигается, если на доске записаны числа 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15.