Question

Найти частное решение дифференциального уравнения: а) y''= 2sin2x, если у=3, y'=0 при х=0 б) y''= , если y=0, y'=1 при х=1

Answer 1

Оба диффура с разделяющимися переменными. Надо просто два раза взять интеграл от левой и правой части. Потом подставить икс и игрек в полученные уравнения и найти неизвестные постоянные.

а) $y''= 2sin2x$

$\int\limits {y''} \, dy = \int\limits {2sin2x} \, dx \\ \\ y' = -cos2x + C_1 \\ \\ \int\limits {y'} \, dy = \int\limits {(-cos2x + C_1)} \, dx \\ \\ y = - \frac{1}{2}sin2x+C_1 x + C_2 \\ \\ \\ y'(0) = -cos(2*0) + C_1 = -1 + C_1 = 0 \\ C_1 = 1 \\ \\ \\ y(0) = - \frac{1}{2}sin(2*0)+1* 0 + C_2 = C_2 = 3 \\ C_2 = 3$

Итак, частно решение:
$\\ y = - \frac{1}{2}sin2x+x + 3$

б) $y''= \frac{3}{x^3} = 3x^{-3}$

$\int\limits {y''} \, dy = \int\limits {3x^{-3}} \, dx \\ \\ y' = - \frac{3}{2} x^{-2} + C_1 \\ \\ \int\limits {y'} \, dy = \int\limits {(-\frac{3}{2} x^{-2} + C_1 )} \, dx \\ \\ y = \frac{3}{2} x^{-1} + C_1 x + C_2 = \frac{3}{2x} + C_1 x + C_2 \\ \\ \\ y'(1) = - \frac{3}{2} * 1^{-2} + C_1 = - \frac{3}{2} + C_1 = 1 \\ C_1 = \frac{5}{2} \\ \\ \\ y(1) = \frac{3}{2*1} + \frac{5}{2} * 1 + C_2 = 4 + C_2 = 0 \\ C_2 = -4$

Частное решение, при указанных начальных значениях:

$y = \frac{3}{2x} + \frac{5}{2} x - 4$

Answer 2

а) Для решения данного дифференциального уравнения, нужно дважды проинтегрировать правую и левую части уравнения. После первой интеграции получим:

y' = ∫ 2sin(2x) dx = -1/2 cos(2x) + C1,

где С1 - константа интегрирования.

Затем мы проинтегрируем еще раз:

y = ∫ (-1/2 cos(2x) + C1) dx = -1/4 sin(2x) + C1x + C2,

где С2 - еще одна константа интегрирования.

Чтобы найти значения С1 и С2, мы можем использовать начальные условия:

y(0) = 3 и y'(0) = 0.

Из первого начального условия получаем:

C2 = 3.

Из второго начального условия получаем:

y' = -1/2 cos(2x) + C1 = 0,

C1 = 1/2 cos(0) = 1/2.

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения y'' = 2sin(2x), удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 3 и y'(0) = 0, равно:

y = -1/4 sin(2x) + 1/2x + 3.

б) Для решения данного дифференциального уравнения, мы снова должны дважды проинтегрировать правую и левую части уравнения. После первой интеграции получим:

y' = ∫ 2x dx = x^2 + C1,

где С1 - константа интегрирования.

Затем мы проинтегрируем еще раз:

y = ∫ (x^2 + C1) dx = 1/3 x^3 + C1x + C2,

где С2 - еще одна константа интегрирования.

Чтобы найти значения С1 и С2, мы можем использовать начальные условия:

y(1) = 0 и y'(1) = 1.

Из первого начального условия получаем:

C2 = -1/3.

Из второго начального условия получаем:

y' = x^2 + C1 = 1,

C1 = 1 - 1^2 = 0.

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения y'' = x, удовлетворяющее начальным условиям y(1) = 0 и y'(1) = 1, равно:

y = 1/3 x^3 - x + 1/3.