Question

Найти промежутки монотонности f(x)=x4-4x+3

Answer 1

$f(x)=x^4-4x+3, \\ f'(x)=4x^3-4, \\ f'(x)=0, \ 4x^3-4=0, \\ x^3-1=0, \\ x^3=1, \\ x=1; \\ x\ \textless \ 1, \ f'(x)\ \textless \ 0, \ f(x)\searrow, \\ x\ \textgreater \ 1, \ f'(x)\ \textgreater \ 0, \ f(x)\nearrow.$

Answer 2

Чтобы найти промежутки монотонности функции f(x) = x^4 - 4x + 3, нужно найти её производную и определить знак этой производной на каждом интервале.

Найдём производную функции f(x): f'(x) = 4x^3 - 4

Затем найдём корни этой производной: 4x^3 - 4 = 0 4(x^3 - 1) = 0 x^3 - 1 = 0 (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0

Корни этого уравнения: x = 1, x = (-1 ± sqrt(3)i)/2.

Теперь мы можем построить таблицу знаков производной и определить промежутки монотонности:

x	-∞	(-1-√3)/2	-1	(1)	(1, (−1+√3)/2)	(−1+√3)/2	+∞
f'(x)	-	+	-	?	-	+	+

Знак производной меняется на каждом корне уравнения f'(x) = 0, так что мы видим, что f(x) монотонно возрастает на интервалах (-∞,(-1-√3)/2) и ((-1+√3)/2, +∞), а монотонно убывает на интервале (-1,1).

Таким образом, промежутки монотонности функции f(x) следующие:

• (от минус бесконечности) до ((-1-√3)/2): монотонно возрастает;
• от ((-1-√3)/2) до (-1): монотонно убывает;
• от (-1) до (1): монотонно убывает;
• от (1) до ((-1+√3)/2): монотонно возрастает;
• от ((-1+√3)/2) до (плюс бесконечности): монотонно возрастает.