Question

Найдите последнюю цифру числа 1! + 2! + 3! + ...+ 2018! ( n! произведение всех натуральных чисел от 1 до n) плииииз

Answer 1

Факториал обозначается "!".

Факториал-произведение всех натуральных чисел от 1 до "n" включительно.

Рассмотрим несколько первых слагаемых:

$1!=1\\2!=2\\3!=6\\4!=24\\5!=160\\6!=720\\...\\2018!=...0$

Отсюда выходит, что цифра, которой оканчивается выражение равно сумме последних цифр в слагаемых:

$1+2+6+4+0+...+0=13$

Следовательно, цифра, которой оканчивается сумма-это "3"

Ответ: $3$

Answer 2

Чтобы найти последнюю цифру суммы чисел вида $n!$, нам нужно рассмотреть остатки этих чисел при делении на 10. Например, $5!$ заканчивается на ноль, потому что содержит множитель 10. А $6!$ заканчивается на два, потому что $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ содержит два множителя, равных 2.

Мы можем заметить, что все числа вида $n!$ для $n \geq 5$ заканчиваются на ноль, так как они содержат множитель 10 (который можно разложить на множители 2 и 5, и так как 2 встречается в $n!$ достаточно часто, то остается только убедиться, что есть достаточно множителей 5, но это верно). Таким образом, чтобы найти последнюю цифру суммы чисел вида $n!$, нам нужно просуммировать только первые несколько чисел, которые заканчиваются на не ноль.

$1!$, $2!$ и $3!$ заканчиваются на 1, 2 и 6 соответственно. Далее, $4!$ заканчивается на 4, а все последующие числа заканчиваются на 0. Поэтому мы можем просто вычислить сумму $1! + 2! + 3! + 4!$ и заменить все остальные члены на ноль, что даст нам окончательный результат.

$1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33$

Последняя цифра этой суммы - 3. Таким образом, последняя цифра суммы чисел вида $n!$ от 1 до 2018 равна 3.