Question

Женя провела в правильном n - угольнике несколько пересекающихся диагоналей (они могут иметь общие концы). Эти диагонали разделили n - треугольник на три треугольника, четыре четырехугольника и 5 пятиугольников. чему равно n? а)32 б)28 в)26 г)25 д)24

Answer 1

28 естественно,кенгуру да?

Answer 2

Обозначим количество четырехугольников за $x$. Тогда количество вершин в них равно $4x$, а количество ребер равно $2x$. Аналогично, количество пятиугольников равно $y$, количество вершин в них равно $5y$, а количество ребер равно $2.5y$.

Так как в n-угольнике $n$ вершин и $n$ ребер, то количество вершин и ребер в н-треугольнике равно $3n$ и $3$ соответственно.

Суммируя количество вершин и ребер всех фигур, получим:

$(3n) + 4x + 5y = n + 2x + 2.5y$

Перегруппируем:

$2n = 2x + 2.5y - 4x - 5y$

$2n = -2x - 2.5y$

$n = -x - \frac{5}{4}y$

$n$ является целым числом, поэтому $x$ должно быть четным (чтобы $-x$ было целым) и $y$ должно быть кратно 4 (чтобы $\frac{5}{4}y$ было целым).

Так как $x \geq 4$, то возможные значения $x$ равны 4, 6, 8, ... . Попробуем подставить каждое из этих значений в формулу для $n$ и проверить, делится ли $y$ на 4.

При $x = 4$ получаем $n = -4 - \frac{5}{4}y$. Чтобы $n$ было положительным, $y$ должно быть отрицательным, но тогда $\frac{5}{4}y$ не будет целым.

При $x = 6$ получаем $n = -6 - \frac{5}{4}y$. Если $y$ равно 4 или 8, то $\frac{5}{4}y$ делится на 4, и получаем $n = 2$ или $n = -8$, что не подходит. Если $y$ равно 12, то $\frac{5}{4}y = 15$, и $n = -9$. Проверим, что это возможно:

• Если $n = 9$, то всего в $n$-угольнике должно быть $9+9=18$ диагоналей. В $n$-треугольнике есть $3$ диагонали, в каждом из 4 четырехугольников — $1$, и в каждом из 5 пятиугольников — $2$. Итого: $3 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 18$, все сходится.

При $x = 8$ получаем $n = -8 - \frac{5}{4}y$. Если $y