Question

Решите уравнение (1+x+x^2)(1+x+...+x^10)=(1+x+...+x^6)^2

Answer 1

Решение написала,посмотрите

Answer 2

Раскроем скобки с обеих сторон:

(1+x+x^2)(1+x+...+x^10) = (1+x+...+x^6)^2

1 + x + x^2 + x + x^2 + x^3 + ... + x^12 = (1+x+...+x^6)(1+x+...+x^6)

Заметим, что (1+x+...+x^6) - это сумма геометрической прогрессии, поэтому ее можно выразить формулой:

1 + x + x^2 + ... + x^6 = (x^7 - 1) / (x - 1)

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10 + x^11 + x^12 = [(x^7 - 1) / (x - 1)]^2

Упростим правую часть:

[(x^7 - 1) / (x - 1)]^2 = (x^7 - 1)^2 / (x - 1)^2 = (x^14 - 2x^7 + 1) / (x^2 - 2x + 1)

Теперь перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

x^12 + x^11 + 2x^10 + 3x^9 + 4x^8 + 5x^7 + 6x^6 + 5x^5 + 4x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x + 1 = x^14 - 2x^7 + 1

Перенесем все слагаемые в правую часть:

x^14 - x^12 - x^11 - 2x^10 - 3x^9 - 4x^8 - 5x^7 - 6x^6 - 5x^5 - 4x^4 - 3x^3 - 2x^2 - x + 1 = 0

Это квадратное уравнение относительно x^7. Решим его с помощью формулы:

x^7 = [1 ± sqrt(3)] / 2

Таким образом, искомые корни равны:

x = (1 ± sqrt(3))^(1/7)

Ответ: x = (1 + sqrt(3))^(1/7) или x = (1 - sqrt(3))^(1/7).