Question

Решите уравнение 9^x-75×3^x-1-54=0.

Answer 1

$9^x-75*3^x-1-54=0 \\ (3^3)^x-75*3^x=54+1 \\ 3^3^x-75*3^x=55 \\ 3^x(3^3-75)=55 \\ 3^x(-66)=55 \\ 3^x=- \frac{5}{6} \\ x=log_3(- \frac{5}{6})=log_3(-5)-log_3(6) \\ x=1.46+2.86i - 1.63 = -1.66+2.86i$

Answer 2

Для решения данного уравнения мы можем воспользоваться методом замены переменной. Для этого обозначим $y=3^x$. Тогда уравнение примет вид:

$9^x - 75\cdot3^{x-1} - 54 = 0$

$\left(3^2\right)^x - 75\cdot3^{x-1} - 54 = 0$

$3^{2x} - 75\cdot3^{x-1} - 54 = 0$

$3^{2x} - 25\cdot3^x - 54 = 0$

Теперь заменим $3^x$ на $y$ и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 25y - 54 = 0$

$(y-9)(y+6) = 0$

$y=9\quad\text{или}\quad y=-6$

Но $y=3^x>0$ для любого $x\in\mathbb{R}$, поэтому решение $y=-6$ не подходит. Значит, $y=9$, откуда $3^x = y = 9$ и $x = \log_3 9 = 2$.

Таким образом, решением исходного уравнения является $x=2$.