Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^3-6x^2+9 на (-2;2)

Answer 1

Смотри ответ на фотографии

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на интервале (-2,2) необходимо найти ее экстремумы (точки, где производная равна нулю) и точки перегиба (точки, где вторая производная меняет знак).

Вычислим сначала первую и вторую производные функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 12x f''(x) = 6x - 12

Найдем точки, где производная равна нулю: 3x^2 - 12x = 0 3x(x - 4) = 0 x = 0 или x = 4/3

Найдем знак второй производной в окрестности найденных точек: f''(0) = -12 < 0, значит, в точке x = 0 функция имеет максимум. f''(4/3) = 0, значит, в точке x = 4/3 функция имеет точку перегиба.

Теперь осталось найти значения функции в найденных точках и на концах интервала (-2,2): f(-2) = -19 f(0) = 9 f(4/3) = 1/27 f(2) = 1

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) на интервале (-2,2) равно -19 и достигается в точке x=-2, а наибольшее значение равно 9 и достигается в точке x=0.