Question

Найдите стороны и углы параллелограмма, если его периметр равен 40 см, а высота параллелограмма и биссектриса его угла, проведенные из одной вершины, делят сторону параллелограмма на три равных отрезка.  P.S. Напишите решение, а не просто ответ :) 

Answer 1

Углы АКВ и СВК равны как накрест лежащие при пересечении двух параллельных прямых АЕ и ВС секущей ВК. Но по условию <ABK=<CBK, т.к. ВК - биссектриса, значит <AKB=<ABK
В треугольнике АВК высота ВК является также и медианой, треугольник АВК - равнобедренный, и <BAK=<AKB. Выше было доказано, что <AKB=<ABK, получаем, что треугольник АВК - равносторонний, и все его углы равны по 60°.
Пусть равные отрезки АН, НК и КЕ будут х. Тогда в треугольнике АВК:
АК=АВ=2х
Таким образом, стороны параллелограмма равны:
АВ=2х, АЕ=3х
Зная периметр параллелограмма, запишем:
(2х+3х)*2=40
4х+6х=40
10х=40
х=4
АВ=2*4=8 см АЕ=3*4=12 см
В равностороннем треугольнике <BAK=60°. Противоположные углы параллелограмма равны, значит <C=60° также. Находим углы В и Е параллелограмма АВСЕ:
<B=<E=(360-2*60):2=120°

Answer 2

Пусть сторона параллелограмма равна $a$, а высота и биссектриса угла, проведенные из одной вершины, равны $h$ и $m$ соответственно.

Так как высота и биссектриса угла делят сторону на три равных отрезка, то $a=3h$ и $a=2m$.

Из этих двух уравнений следует, что $m=\frac{3}{2}h$.

Периметр параллелограмма равен $P=2a+2b$, где $b$ - соседняя сторона.

Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то $b=a$.

Таким образом, $P=2a+2b=4a=12h$.

Из этого следует, что $h=\frac{P}{12}=\frac{40}{12}=\frac{10}{3}$ см.

Теперь мы можем найти сторону параллелограмма:

$a=3h=3\cdot\frac{10}{3}=10$ см.

Также мы можем найти угол между биссектрисой и высотой, проведенными из одной вершины. Обозначим этот угол через $\alpha$.

Из свойств биссектрисы угла следует, что $\alpha=\frac{1}{2}\angle A$, где $A$ - вершина параллелограмма, из которой проведены биссектриса и высота.

Так как высота делит угол $A$ на два равных угла, то $\angle A=2\alpha$.

Также из определения высоты следует, что $\angle HAB=90^\circ$, где $H$ - точка пересечения высоты и биссектрисы угла.

Таким образом, угол $\angle BAH$ равен $90^\circ-\alpha$.

Из треугольника $ABH$ следует, что $\tan\alpha=\frac{HB}{AB}$.

Из прямоугольного треугольника $ABH$ следует, что $\tan(90^\circ-\alpha)=\frac{AH}{AB}$.

Так как $AB=a$, то эти уравнения можно переписать следующим образом:

$\tan\alpha=\frac{HB}{a}$ и $\cot\alpha=\frac{AH}{a}$.

Используя определение тангенса и котангенса, можно получить уравнение:

$\frac{HB}{AH}=\frac{\tan\alpha}{\cot\alpha}= \tan^2\alpha$.

Используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABH$, можно записать:

$HB^2=AB^2-AH^2=a^