Question

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 с основаниями ABC и A1B1C1. Скрещивающиеся диагонали BA1 и CB1 боковых граней AA1B1B и BB1C1C перпендикулярны. Докажите, что AB:AA1=√2:1.

Answer 1

Перенесём диагональ СВ1 точкой В1 в точку А1.

Получим прямоугольный равнобедренный треугольник ВА1Е.

Примем длину основания призмы за "а", высоту за "h".

Сторона ВЕ равна двум высотам АВС:

ВЕ = 2а*(√3/2) = а√3.

Рассмотрим высоту А1Д треугольника ВА1Е.

А1Д = (1/2)ВЕ = а√3/2.

С другой стороны, А1Д - это гипотенуза треугольника АА1Д.

По Пифагору (А1Д)² = (а/2)² + h².

h = √((3a²/4) - (a²/4) = √(2a²/4) = a/√2.

Найдём соотношение AB:AA1 = а/(a/√2) = √2/1.

Ответ: AB:AA1=√2:1.

Answer 2

Пусть точка O — центр основания ABC, а H1 и H2 — основания высот, опущенных из вершин A1 и B1 на плоскость основания ABC.

Так как призма ABCA1B1C1 правильная, то у нее основания ABC и A1B1C1 являются правильными треугольниками, а боковые грани AA1B1B и BB1C1C являются равнобедренными треугольниками со сторонами AA1 = BB1 и A1B1 = B1C1.

Из условия задачи следует, что диагонали BA1 и CB1 перпендикулярны, то есть пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Так как треугольник ABC является правильным, то центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности, то есть точкой O.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A1OH1. По определению прямоугольного треугольника, угол A1OH1 прямой, а катеты A1H1 и OH1 перпендикулярны. Из теоремы Пифагора следует, что AO² = A1O² + A1A²/2. Аналогично, рассмотрев треугольник BOH2, получаем BO² = B1O² + B1B²/2.

Из правильности треугольника ABC следует, что AB = BC = AC. Пусть a = AB, тогда AC = BC = a√2. Так как A1B1C1 является правильным треугольником, то A1C1 = A1B1 = B1C1 = a√2. Из правильности треугольника A1OH1 следует, что A1O = A1H1/√2, аналогично, из правильности треугольника BOH2 следует, что B1O = B1H2/√2.

Из теоремы Пифагора для треугольников A1OH1 и BOH2 следует, что A1H1² + A1O² = AO² и B1H2² + B1O² = BO². Подставляя найденные значения, получаем:

A1H1² + A1O² = AO² = A1O² + A1A²/2,

B1H2² + B1O² = BO² = B1O² + B1B²/2.

Переносим одинаковые слагаемые в правую часть и упрощаем:

A1A²/2 = 2A1O² - 2A1H1² = 2A1O² - A1B1²