Question

Представьте периодичную дробь 0,(42) в виде обыкновенной дроби. Помогите пж. Дам 15 баллов

Answer 1

0.(42) = х

42.(42) = 100х

100х - х = 42.(42) - 0.(42)

99х = 42

х = 42/99 = 14/33

Answer 2

Для того, чтобы представить периодическую дробь в виде обыкновенной дроби, можно воспользоваться следующим приемом:

Пусть дана периодическая дробь вида 0,(a1a2...an), где a1, a2, ..., an - период дробной части. Тогда ее можно записать в виде:

x = 0,(a1a2...an) = a1a2...an / 10^n + a1a2...an / 10^(2n) + a1a2...an / 10^(3n) + ...

где n - количество цифр в периоде дробной части.

Для данной периодической дроби 0,(42), имеем a1 = 4, a2 = 2 и n = 2, поэтому:

x = 0,(42) = 42 / 10^2 + 42 / 10^4 + 42 / 10^6 + ...

Раскрывая каждое слагаемое, получаем:

x = 42 / 100 + 42 / 10000 + 42 / 1000000 + ...

x = 0.42 + 0.000042 + 0.000000042 + ...

x = 0.42 + 0.000042(1 + 0.0001 + 0.0000001 + ...)

Заметим, что выражение в скобках является геометрической прогрессией с первым членом 1 и знаменателем 10^4. Тогда ее сумма равна:

S = 1 / (1 - 0.0001) = 10001 / 10000

Подставляем эту сумму и получаем окончательный результат:

x = 0.42 + 0.000042(10001 / 10000) = (4200 + 42 * 10001) / 100000 = 21021 / 50000

Таким образом, периодическая дробь 0,(42) представляется в виде обыкновенной дроби 21021 / 50000.