Question

Решить неравенство 4^x -7*2^x +10 меньше или равно 0

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$4^{x} -7*2^{x} +10\leq0$

$(2^{x})^{2} -7*2^{x} +10\leq 0$

Пусть $2^{x}$ = t; t>0

$t^{2} -7t+10\leq 0$

[tex]t^{2} -7t+10=0

D= 49-40= 9 > 0 2 различных корня

t1 = 7+3/2 = 5

t2 = 7-3/2=2

Отмечаем на координатной прямой.

t²-7t+10 это парабола. ветви вверх

Смотришь область которая ниже нуля

получается  [2;5]

2^{x} = t

2^{x} ≥ 2                     x= 1

2^{x} ≤5                     x= ㏒₂5

Ответ: [1; ㏒₂5]

Answer 2

Данное неравенство можно решить методом замены переменной. Заметим, что если мы заменим переменную 2^x на t, то неравенство примет вид квадратного уравнения:

t^2 - 7t + 10 ≤ 0

Решим данное квадратное уравнение с помощью метода дискриминанта:

D = (-7)^2 - 4110 = 9

t1 = (7 - √D)/2 = 2 t2 = (7 + √D)/2 = 5

Таким образом, мы получили два корня квадратного уравнения: t1 = 2 и t2 = 5.

Заменяя обратно переменную t на 2^x, получаем:

2^x = t1 = 2 или 2^x = t2 = 5

Так как 2^x > 0 для любого x, то решением исходного неравенства будет множество:

{x | x ≤ log2(2) или x ≤ log2(5)}

Или, записывая в виде интервала:

(-∞, log2(5)]