Question

приведите пример трехзначного числа, которое равно произведению пяти натуральных множителей, таких что, любые два из них взаимно просты, а само число делится на 8.

Answer 1

Проще всего взять одно из натуральных чисел само 8, а остальные числа простые. Например, 7, 5, 3. Чтобы не выйти за пределы трехзначных чисел, последний натуральный множитель - это 1.

8*7*5*3*1=840

Answer 2

Для того, чтобы трехзначное число было кратным 8, оно должно быть четным и иметь последние две цифры, кратные 4. Поскольку все пять множителей взаимно простые, ни одно из них не может быть четным. Значит, все пять множителей должны быть нечетными.

Таким образом, можно записать произведение пяти натуральных нечетных чисел в виде:

(2n + 1)(2m + 1)(2k + 1)(2p + 1)(2q + 1),

где n, m, k, p, q - некоторые натуральные числа.

Для того, чтобы произведение было кратно 8, два из множителей должны быть кратными 2, т.е. иметь вид 2(2x + 1). Остальные три множителя должны быть кратными 4, т.е. иметь вид 4y.

Таким образом, возможен только один вариант разложения на множители:

(2·3 + 1)(2·5 + 1)(4·2)(4·1)(4·1) = 63·11·8 = 5544.

Проверим, что это число действительно кратно 8: 5544 = 8·693.