Question

У трикутнику АВС: ВМ - медіана, АМ=ВМ=ВС. Знайдіть величину меншого кута трикутника АВС.

Answer 1

Медіана ділить сторону трикутника до якої проведена навпіл, а тому  АМ=ВМ=ВС= МС, отже трикутник ВМС рівносторонній кут С= 60 градусів.

Кут АМВ= 120 градусів, так як трикутник АМВ рівнобедрений кут А =30 градусів.

А кут В= 90, отже найменший кут трикутника АВС це кут А=30 градусів.

Answer 2

Оскільки медіана ВМ поділяє сторону АС навпіл, то ми можемо скласти наступну систему рівнянь, використовуючи властивості медіани:

$AM=BM=MC$ $\frac{1}{2}AC=BM$

Звідси маємо:

$\frac{1}{2}AC=AM=MC$

Оскільки ВМ є медіаною трикутника, він ділить сторону BC навпіл, тобто BM = MC = 1/2BC. Застосуємо це вище:

$AM=\frac{1}{2}MC=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}BC=\frac{1}{4}BC$

Ми знаємо, що сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів, тому ми можемо записати:

$\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=180^\circ$

Оскільки AM = MC, ми можемо поділити кут А на дві рівні частини:

$\angle BAC=\angle BAM+\angle CAM$

Також, оскільки BM = MC, кути В і С дорівнюють один одному:

$\angle ABC=\angle ACB$

Замінюємо ці вирази у формулі для суми кутів трикутника:

$\angle BAM+\angle CAM+\angle ABC+\angle ACB=180^\circ$

$2\angle BAM+2\angle ABC=180^\circ$

$\angle BAM+\angle ABC=90^\circ$

Таким чином, менший кут трикутника АВС дорівнює куту АМВ, оскільки ВМ є медіаною. Оскільки медіана ділить відрізок на дві рівні частини, кут АМВ є прямим кутом. Тому менший кут трикутника дорівнює 90 градусам.