Question

Помогите ПЖ Найти производную функции y=ln tg2x в точке х=π/8

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для нахождения производной функции y = ln(tg2x) в точке x = π/8, мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции (chain rule).

Давайте сначала выразим функцию y в терминах синусов и косинусов:

tg2x = sin2x/cos2x

ln(tg2x) = ln(sin2x) - ln(cos2x) = 2ln(sin x) - 2ln(cos x)

Теперь мы можем дифференцировать выражение по переменной x:

(dy/dx) = 2(1/sin x)cos x - 2(1/cos x)(-sin x) = 2cos x/sin x + 2sin x/cos x

В точке x = π/8, мы можем заменить sin x и cos x на соответствующие значения:

sin(π/8) = √2 - √2/4 = (2-√2)/2

cos(π/8) = √2 + √2/4 = (√2+1)/2

(dy/dx) = 2[(√2+1)/2]/[(2-√2)/2] + 2[(2-√2)/2]/[(√2+1)/2] = 2(√2+1)/(2-√2) + 2(2-√2)/(√2+1) = (4+2√2)/(2-√2) + (8-4√2)/(√2+1) = [(4+2√2)(√2+1) + (8-4√2)(2-√2)]/[(2-√2)(√2+1)] = 16/(3-2√2)

Таким образом, производная функции y=ln tg2x в точке x=π/8 равна 16/(3-2√2).