Question

радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен 5, а высота, проведенная к основанию, равна 8, найдите площадь треугольника.        

Answer 1

Центр окружности лежит на высоте треугольника. Проведем радиус, проходящий вдоль этой высоты. Тогда, если вся высота равна 8, то оставшаяся часть будет равна 8-5=3.

Теперь рассмотрим треугольник AOM. В нём OM=3, AO=5 и угол M прямой. Соответственно, AM=4 по теореме Пифагора.

Очевидно, что всё основание будет дважды AM. То есть, AC=2*AM=8.

Теперь нетрудно найти площадь: S=1/2*8*8=8*4=32.

Answer 2

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC и проведена высота CD к основанию AB. Пусть O - центр описанной окружности.

Так как треугольник ABC - равнобедренный, то высота CD является медианой, биссектрисой и высотой, а также проходит через центр описанной окружности O. Тогда CO является радиусом окружности, описанной около треугольника ABC, и CO = 5.

Пусть E - середина отрезка AB. Тогда CE является медианой треугольника ABC, и CE = CD = 8.

Из прямоугольного треугольника CDE получаем:

$DE^2 = CE^2 - CD^2 = 8^2 - (\frac{AB}{2})^2$

Заметим, что $\frac{AB}{2} = AE = OE$, так как точка E - середина отрезка AB, а O - центр описанной окружности. Тогда:

$DE^2 = 8^2 - OE^2$

$OE^2 = 5^2 = 25$

$DE^2 = 8^2 - 25 = 39$

$DE = \sqrt{39}$

Так как BD = DC = $\frac{AB}{2}$, то $BD = DC = \frac{DE}{\sqrt{2}}$. Тогда:

$AB = BD + DA = \frac{DE}{\sqrt{2}} + \frac{DE}{\sqrt{2}} = DE\sqrt{2} = \sqrt{78}$

Теперь можем вычислить площадь треугольника ABC:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{78} \cdot 8 = 4\sqrt{39}$

Ответ: $S_{ABC} = 4\sqrt{39}$ квадратных единиц.