Question

(a+b)^3<=4(a^3+b^3) доказать

Answer 1

Очевидно, в задании пропущено условие.

Ибо, если a = 1, b = -2, то -1 = (1 -2)³ > 4 * (1 - 8) = -28

Попробуем обнаружить недостающее условие.

Для этого вычтем из правой части неравенства левую, и исследуем, для каких a и b полученное выражение будет больше 0.

4a³ + 4b³ - (a + b)³ =

4a³ + 4b³ - a³ - 3a²b - 3ab² - b³ =

3a³ + 3b³ - 3a²b - 3ab² =

3 * (a³ - a²b + b³ - ab² ) =

3 * (a²(a - b) - b²(a - b)) =

3 * (a - b) * (a² - b²) =

3 * (a - b)² * (a + b) >= 0, только если a + b >= 0.

Т.о. исходное неравенство верно, только если a + b >= 0

Answer 2

Для доказательства данного неравенства используем неравенство о средних для кубов:

$(\frac{a^3+b^3}{2})^\frac{1}{3}\leqslant \frac{a+b}{2}$

Поднесем его к третьей степени и получим:

$\frac{a^3+b^3}{2}\leqslant (\frac{a+b}{2})^3$

Заметим, что $(a+b)^3=(a^3+b^3+3ab(a+b))$. Подставим это в неравенство:

$(\frac{(a^3+b^3)+3ab(a+b)}{2})^\frac{1}{3}\leqslant \frac{a+b}{2}$

$\frac{a^3+b^3+3ab(a+b)}{2}\leqslant (\frac{a+b}{2})^3$

$a^3+b^3+3ab(a+b)\leqslant 4(a^3+b^3)$

$3ab(a+b)\leqslant a^3+b^3$

$3ab(a+b)\leqslant (a^3+b^3+3ab(a+b))-3ab(a+b)$

$3ab(a+b)\leqslant a^3+b^3-3ab(a+b)$

$3ab(a+b)+3ab(a+b)^2+(a+b)^3\leqslant a^3+b^3+3ab(a+b)+3ab(a+b)^2$

$(a+b)^3\leqslant 4(a^3+b^3)$

Таким образом, неравенство доказано.