Question

Даны четыре числа a,b,c,d. Каждые два из них сложили и получили 6 сумм: a+b, b+c, c+d, a+c, b+d, a+d. Четыре наибольшие из этих сумм равны 39, 50, 54, 100. Найти сумму исходных четырех чисел a+b+c+d.

Answer 1

Если там системой посчитать, то получится 145

Answer 2

Обозначим суммы пар чисел, перечисленных в условии, следующим образом:

$$\begin{aligned} &a+b=x_1, \\ &a+c=x_2, \\ &a+d=x_3, \\ &b+c=x_4, \\ &b+d=x_5, \\ &c+d=x_6. \end{aligned}$$

Тогда исходные четыре числа равны:

$$\begin{aligned} a &= \frac{x_1+x_2-x_4}{2}, \\ b &= \frac{x_1+x_4-x_2}{2}, \\ c &= \frac{x_2+x_4-x_1}{2}, \\ d &= \frac{x_3+x_5-x_6}{2}. \end{aligned}$$

Теперь осталось найти значения $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$. Заметим, что максимальные суммы $x_i$ даются парами чисел $a+d$ и $b+c$ (их сумма равна $x_4+x_6$), $a+c$ и $b+d$ (их сумма равна $x_2+x_5$), $a+b$ и $c+d$ (их сумма равна $x_1+x_3$). Значит, имеем следующую систему уравнений:

$$\begin{cases} x_4 + x_6 = 100, \\ x_2 + x_5 = 54, \\ x_1 + x_3 = 50, \\ x_1 + x_2 - x_4 = 39, \\ x_1 + x_4 - x_2 = 39, \\ x_2 + x_4 - x_1 = 39, \\ x_3 + x_5 - x_6 = 39. \end{cases}$$

Решая эту систему, получаем: $x_1 = 13$, $x_2 = 23$, $x_3 = 37$, $x_4 = 29$, $x_5 = 25$, $x_6 = 71$.

Теперь можем вычислить искомую сумму:

$$\begin{aligned} a+b+c+d &= \frac{x_1+x_2-x_4}{2} + \frac{x_1+x_4-x_2}{2} + \frac{x_2+x_4-x_1}{2} + \frac{x_3+x_5-x_6}{2} \\ &= \frac{2x_1+2x_2+2x_3+2x_4+2x_5+2x_6}{2} - x_1 - x_2 - x_4 \\ &= 156. \end{aligned}$$