Question

Расскажите способ интегрирования простейших дробей.

Answer 1

Интегрирование простейших дробей.

Задача нахождения неопределенного интеграла дробно рациональной функции сводится к интегрированию простейших дробей. Поэтому рекомендуем для начала ознакомиться с разделом теории разложение дроби на простейшие.

Пример.

Найти неопределенный интеграл.

Решение.

Так как степень числителя подынтегральной функции равна степени знаменателя, то для начала выделяем целую часть, проводя деление столбиком многочлена на многочлен:

Поэтому, 

азложение полученной правильной рациональной дроби на простейшие дроби имеет вид. Следовательно,

Полученный интеграл представляет собой интеграл простейшей дроби третьего типа. Забегая немного вперед, отметим, что взять его можно методом подведения под знак дифференциала.

Так как, то Поэтому

Следовательно,

теперь перейдем к описанию методов интегрирования простейших дробей каждого из четырех типов.

Answer 2

Существует несколько способов интегрирования простейших дробей. Один из наиболее распространенных - это метод разложения на простейшие дроби.

Метод разложения на простейшие дроби состоит в следующем:

1. Разложите дробь на простейшие дроби вида A/(x-a), где A - константа, а a - корень многочлена в знаменателе.
2. Запишите каждую простейшую дробь в виде A/(x-a).
3. Найдите неизвестные константы A, используя методы алгебры.

Например, пусть требуется интегрировать дробь (2x+3)/(x^2+2x+1).

1. Разложите знаменатель на множители: x^2+2x+1 = (x+1)^2.
2. Запишите дробь в виде суммы простейших дробей:

(2x+3)/(x^2+2x+1) = A/(x+1) + B/(x+1)^2.

3. Найдите неизвестные константы A и B, раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x:

2x+3 = A(x+1) + B(x+1)^2

Подставляя x=-1, получаем A=-1/2. Затем, раскрывая скобки и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем B=2.

Таким образом, исходная дробь может быть записана в виде:

(2x+3)/(x^2+2x+1) = -1/2/(x+1) + 2/(x+1)^2.

Интегрируя каждую простейшую дробь по отдельности, получим итоговый результат:

∫(2x+3)/(x^2+2x+1) dx = -1/2 ln|x+1| - 2/(x+1) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.