Question

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2√2 , высота пирамиды – 2. Найдите радиус шара, описанного вокруг пирамиды.

Answer 1

АВСД-квадрат, ОМ- высота пирамиды
по т. Пифагора АС²=(2√2)²+(2√2)²
АС=4
ΔMOC: OC=2, OM=2, MC=2√2
ΔАMC вписан в окружность
SΔAMC=(1/2)*AC*H, SΔ=(1/2)*4*2=4
радиус описанной окружности:R=(AM*AC*MC)/4S
R=(√2*4*√2)/(4*4), R=1
ответ: Rописанной окружности =1

Answer 2

Чтобы найти радиус шара, описанного вокруг правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно знать ее высоту и длину ребра основания. Давайте обозначим длину ребра основания через "a".

Так как основание пирамиды – правильный четырехугольник, то его диагональ равна a√2.

Рассмотрим треугольник, образованный диагональю основания и высотой пирамиды, проходящей через вершину, расположенную на высоте. Этот треугольник – прямоугольный, потому что его один угол равен 90 градусам (угол между высотой и основанием), а два других угла – равны 45 градусам каждый (углы в вершинах правильного четырехугольника).

Зная длину катета (высоты) и гипотенузы (диагонали основания), мы можем найти второй катет, который равен a.

Теперь мы можем вычислить половину диагонали основания:

d/2 = a/2 * √2

Так как высота пирамиды равна 2, то высота правильной четырехугольной пирамиды равна высоте, опущенной из вершины на основание.

Мы можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) * S осн * h

где Sосн – площадь основания пирамиды.

Sосн = a^2

V = (1/3) * a^2 * 2

V = (2/3) * a^2

Заметим, что объем пирамиды равен объему, заключенному внутри ее описанной сферой.

Таким образом, мы можем найти радиус шара, описанного вокруг пирамиды, используя формулу для объема сферы:

V = (4/3) * π * r^3

r = (3V / 4π)^(1/3)

r = [(3 * (2/3) * a^2) / (4 * π)]^(1/3)

r = (a^2 / (6π))^(1/3)

Подставляя a = 2√2, получаем:

r = [(2√2)^2 / (6π)]^(1/3)

r = (8 / (6π))^(1/3)

r ≈ 0.824

Таким образом, радиус шара, описанного вокруг правильной чет