Question

известно что около четырехугольника abcd можно описать окружность и что продолжения сторон ab и cd четырехугольника пересекабтся в точке М . докажите, что треугольники МВС и МDА подобны

Answer 1

Чтобы четырехугольник можно было вписать в окружность, должно выполняться условие: ∠DAB+∠BCD=∠ABC+∠CDA=180° (по третьему свойству описанной окружности ). ∠ADM является смежным по отношению к ∠CDA, следовательно: 180°=∠ADM+∠CDA 180°=∠ABC+∠CDA (это мы установили ранее). Получается, что ∠ADM=∠ABC ∠DAM является смежным по отношению к ∠DAB, следовательно: 180°=∠DAM+∠DAB 180°=∠BCD+∠DAB (это мы установили ранее). Получается, что ∠DAM=∠BCD ∠M - общий для треугольников MBC и MDA. Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны. Вроде так:-)

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников МВС и МDА мы должны показать, что у них соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Рассмотрим четырехугольник ABCD, описанный около окружности, и продолжения его сторон ab и cd, пересекающиеся в точке М. Пусть O - центр описанной окружности. Тогда, так как угол ABC и угол ADC вписанные углы, то они равны, то есть:

∠ABC = ∠ADC

Также, по свойству описанной окружности, угол AOC - прямой. Следовательно,

∠MOC = 180° - ∠AOC = 180° - 90° = 90°

Аналогично,

∠MOB = 180° - ∠BOC = 180° - 90° = 90°

Таким образом, получаем, что треугольники МОВ и МОС являются прямоугольными.

Теперь рассмотрим треугольник МВС. Угол МВС является вертикальным углом для угла АCD, поэтому

∠MVS = ∠ACD

Аналогично, для треугольника МDА:

∠MDA = ∠ABC

Таким образом, мы показали, что углы МВС и МDА соответственно равны углам АCD и ABC.

Теперь докажем, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. Рассмотрим стороны МВ и МD. Поскольку стороны ab и cd пересекаются в точке М, то МВ и МD являются биссектрисами углов BMA и CMD соответственно. Следовательно, мы можем записать:

MV / MD = AB / CD

Таким образом, мы показали, что треугольники МВС и МDА подобны по двум углам и одной стороне, что является достаточным условием подобия треугольников.