Question

Исследовать и построить график функции x^3-6x+1

Answer 1

ДАНО: Y=x³ - 6*x + 1

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.  

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х₁ = - 2,53, Х₂ = 0,17, Х₃ = 2,36 - без комментариев.

Положительна - X∈(Х₁;Х₂)∪(Х₃;+∞), отрицательна - X∈(-∞;Х₁)∪(Х₂;Х₃).

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 1.  

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = - ∞  limY(+∞) = +∞  

5. Исследование на чётность.Y(-x) ≠ Y(x). Y(-x) ≠ -Y(x),  

Функция ни чётная ни нечётная.  

6. Производная функции.Y'(x)= 3*x² -6 = 3(x-√2)(x+√2).  

Корни при Х₁=  -√2, Х₂ = √2  Схема знаков производной.

(-∞)__(>0)__(-√2)___(<0)___(√2)__(>0)_____(+∞)

7. Локальные экстремумы.  

Максимум Ymax(-√2)= 6,657 , минимум – Ymin(√2) = - 4,657  

8. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает - Х∈[-∞; -√3]∪[√2;+∞), убывает = Х∈(-√2; √2).  

8. Вторая производная - Y"(x) = 6*x = 0.  

Корень производной - точка перегиба Y"(0)= 1.  

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; 0), Вогнутая – «ложка» Х∈(0; +∞).  

10. График в приложении

Answer 2

Для начала построим график функции x^3-6x+1, используя различные значения x.

x	f(x)
-3	-80
-2	-11
-1	4
0	1
1	-4
2	5
3	28

Теперь нарисуем график функции, используя эти значения:

perlCopy code
      |
    30|                         +   
      |                       /    
      |                     /      
    20|                   /        
      |                 /          
      |               /            
    10|             /              
      |           /                
      |         /                  
     0|       /                    
      |     /                      
      |   /                        
   -10| /                          
      |____________________________
        -3 -2 -1  0  1  2  3        

Таким образом, график функции y = x^3-6x+1 представляет собой кубическую кривую, которая пересекает ось x в точках x ≈ -2.2, x ≈ -0.5, и x ≈ 2.7. Она имеет локальный минимум в точке x ≈ -1.5 и локальный максимум в точке x ≈ 1.5. Функция симметрична относительно точки x = 0.