Question

Сторона правильного многоугольника А1А2 Аn... Сторона правильного многоугольника А1А2… Аn равна 10, а угол его в 10 раз больше угла А1ОА2, где О- центр описанной около многоугольника окружности. Найти периметр многоугольника

Answer 1

Пропагандист поморочили идиоморфизм

Answer 2

Первым шагом необходимо определить количество сторон правильного многоугольника, зная, что угол А1ОА2 в 10 раз меньше угла при вершине многоугольника.

Пусть α - угол при вершине многоугольника, тогда угол А1ОА2 равен α/10, так как он в 10 раз меньше. Сумма углов в вершине многоугольника равна 180 градусов, поэтому:

α + (n-2) * (180 - α) = 360,

где n - количество сторон многоугольника.

Раскрывая скобки, получаем:

α + 180n - 360 - αn + 2α = 360,

откуда следует:

α = (360 / (n + 2)) градусов.

Зная, что угол при вершине многоугольника равен α, а угол А1ОА2 равен α/10, можно записать:

α/10 + α/2 = 180,

откуда:

α = 144 градуса.

Подставляя α в формулу для периметра правильного многоугольника, получаем:

P = 10n,

где n - количество сторон многоугольника, а сторона многоугольника равна:

a = 2Rsin(π/n),

где R - радиус описанной окружности, который можно найти из формулы:

R = a/(2sin(π/n)).

Зная сторону a, можно выразить радиус R:

R = 5/sin(π/n).

Теперь можно выразить периметр многоугольника через количество его сторон n:

P = 10n = 20Rsin(π/n) = 100sin(π/n).

Осталось решить уравнение P = 100sin(π/n) и найти значение n:

10n = 100sin(π/n),

sin(π/n) = 0.1,

π/n = arcsin(0.1),

n = π/arcsin(0.1) ≈ 31.

Таким образом, периметр правильного многоугольника с 31 стороной равен:

P = 10n = 10 * 31 = 310.

Ответ: 310.