Question

Мистер Фокс перебирал в уме подряд все натуральные числа от 1 до 10^12 . В случае, если текущее число оказывалось квадратом некоторого натурального числа, кубом некоторого натурального числа или четвёртой степенью некоторого натурального числа, он записывал это текущее число в записную книжку. Сколько чисел выписал мистер Фокс?

Answer 1

Ответ:

Определим количество чисел, которые являются квадратом некоторого натурального числа. Натуральные числа начинаются с 1 и поэтому рассмотрим квадраты чисел 1², 2², ..., K²≤10¹². Тогда K = 10⁶, то есть 1000000 чисел, которые являются квадратом некоторого натурального числа.

Теперь определим количество чисел, которые являются кубом некоторого натурального числа. Рассмотрим кубы чисел 1³, 2³, ..., K³≤10¹². Тогда K = 10⁴, то есть 10000 чисел, которые являются квадратом некоторого натурального числа. Но среди них есть числа, которые учтены среди чисел, которые являются квадратом некоторого натурального числа. Например, 64=8²=4³. Определим их количество. Пусть некоторое число одновременно является квадратом некоторого натурального числа и кубом другого натурального числа, то есть a=n²=m³. Тогда для некоторого натурального числа с: a=с⁶. Поэтому рассмотрим 6-степени чисел 1⁶, 2⁶, ..., K⁶≤10¹². Тогда K = 10², то есть всего 100 чисел, которые одновременно является квадратом некоторого натурального числа и кубом другого натурального числа. Значит, 10000-100=9900  чисел можем учесть при подсчёте.

Далее, числа, которые являются четвёртой степенью некоторого натурального числа учтены при подсчёте чисел, которые являются квадратом некоторого натурального числа. Это следует из того, что если число a является четвёртой степенью некоторого натурального числа n, то a=n⁴=(n²)².

Наконец, можем определить количество чисел, которых мистер Фокс записывал в записную книжку:

1000000 + 9900 = 1009900.

Answer 2

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько чисел в интервале от 1 до 10^12 являются квадратами, кубами или четвёртыми степенями натуральных чисел.

Числа, являющиеся квадратами натуральных чисел, имеют вид a^2, где a - натуральное число. Таких чисел в интервале от 1 до 10^12 будет sqrt(10^12) = 10^6.

Числа, являющиеся кубами натуральных чисел, имеют вид b^3, где b - натуральное число. Таких чисел в интервале от 1 до 10^12 будет (10^4)^(1/3) = 100.

Числа, являющиеся четвёртыми степенями натуральных чисел, имеют вид c^4, где c - натуральное число. Таких чисел в интервале от 1 до 10^12 будет (10^3)^(1/4) = 32.

Итого, в интервале от 1 до 10^12 будет выписано 10^6 + 100 + 32 = 10^6 + 132 чисел. Ответ: 1 000 132.