Question

Одновременно зажгли три свечи одинаковой длины, но разного диаметра. Длина каждой свечи 30 см. Первая свеча была самая толстая, вторая - поменьше, а третья - самая тонкая. В тот момент, когда догорела третья свеча, первую и вторую тоже потушили. Оказалось, что огарок от первой свечи в три раза длинее, чем от второй. За какое время полностью сгорает третья свеча, если известно, что первая сгорает за 10 ч, а вторая - за 6 ч?

Answer 1

Свечи сгорают пропорционально их объему. Так как длины свечей одинаковые, то скорость пропорциональна площади основания, то есть квадрату радиуса. 
V = pi*R=^2*H = 30pi*R^2
Первая сгорает за 10 ч, по 3 см/ч, а вторая за 6 ч, по 5 см/ч.
За время t сгорела 30-x см от второй свечи (осталось x см).
И за это же время от первой свечи осталось 3x см, а сгорело 30-3x.
V = pi*R1^2*(30-x) = pi*R2^2*(30-3x)
{ 3t = 30 - 3x
{ 5t = 30 - x
Умножаем 1 уравнение на -5, а 2 уравнение на 3
{ -15t = -150 + 15x
{ 15t = 90 - 3x
Складываем уравнения
0 = -60 + 12x
x = 60/12 = 5 см осталось от второй свечи
3x = 15 см осталось от первой свечи - ровно половина.
За это время третья свеча сгорела полностью.
Значит, объем третьей свечи ровно в 2 раза меньше, чем первой.
R1^2 = 2*R3^2
R1 = R3*√(2)
Значит, третья свеча полностью сгорела за 10/2 = 5 часов.

Answer 2

Поскольку все свечи одинаковой длины, то объем воскового вещества, из которого изготовлены свечи, пропорционален площади поперечного сечения свечи. Поэтому можно представить диаметр первой свечи в 2 раза больше диаметра второй свечи, а диаметр второй свечи в 2 раза больше диаметра третьей свечи. Обозначим диаметры свечей соответственно d1, d2 и d3.

Так как все свечи одинаковой длины, то объем воска в них пропорционален площади поперечного сечения свечи, которое в свою очередь пропорционально квадрату радиуса (или половины диаметра) свечи. Поэтому:

• объем первой свечи равен (d1/2)^2 = d1^2/4
• объем второй свечи равен (d2/2)^2 = d2^2/4
• объем третьей свечи равен (d3/2)^2 = d3^2/4

Так как первая свеча горит 10 часов, а вторая - 6 часов, то отношение объемов первой и второй свечей равно отношению времени горения:

d1^2/4 : d2^2/4 = 10 : 6

Упрощая это выражение, получаем:

d1^2 : d2^2 = 5 : 3

Аналогично можно получить отношение объемов второй и третьей свечей:

d2^2/4 : d3^2/4 = 6 : t

где t - время горения третьей свечи в часах. Упрощая это выражение, получаем:

d2^2 : d3^2 = 24 : t

Учитывая, что d1^2 : d2^2 = 5 : 3, можно выразить d1^2 через d3^2:

d1^2 = (d1^2 : d2^2) * d2^2 = (5/3) * d2^2

Теперь можно выразить d2^2 через d3^2 и подставить это выражение во второе уравнение:

(5/3 * d3^2) : d3^2/4 = 24 : t

Решая это уравнение относительно t, получаем:

t = 96 / 5 = 19.2 часа

Таким образом, третья свеча полностью сгорит за 19 часов и 12 минут.