Question

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла равен 3 градусам. найдите больший угол данного треугольника.Ответ дайте в градусах.

Answer 1

87 градусов
180-90-3=87

Answer 2

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где ∠ACB = 90°. Пусть CD - высота, проведенная из вершины C, и CE - медиана, проведенная из вершины C.

По условию задачи, угол между CD и CE равен 3 градусам:

∠DCE = 3°.

Так как CE - медиана, то она делит сторону AB пополам:

CE = AE = EB.

Также, так как CD - высота, то она перпендикулярна к AB:

CD ⊥ AB.

Обозначим угол ACD через α. Тогда угол BCE также равен α, так как CE - медиана.

Так как CE = AE = EB, то треугольник AEB - равнобедренный, и ∠AEB = 45°.

Тогда угол CAB равен 90° - α, так как сумма углов треугольника ABC равна 180°.

Также, так как ∠ACB = 90°, то ∠CAB = α.

Тогда по теореме синусов для треугольника ABC:

sin α = CD/AC и sin (90° - α) = CD/BC.

Так как AC = BC/cos α, то

sin α = CD/(BC/cos α) = (CD cos α)/BC.

Тогда

sin (90° - α) = CD/BC = sin α/cos α = tan α.

Таким образом, мы получили уравнение для нахождения угла α:

tan α = sin α/cos α.

Решая это уравнение, получаем:

tan α = 1, α = 45°.

Тогда угол CAB равен 90° - α = 45°, и это является наибольшим углом треугольника. Ответ: 45 градусов.