Question

Докажите что функция F является первообразной для функции f(x) на промежутке (-бесконечности до + бесконечности) если F(x) =x3-4,f(x) =3x2

Answer 1

Первообразной данной функции $f(x)$ называют такую функцию $F(x)$, производная которой на всей области определения
$D\, \in \, (-\infty, \, +\infty)$ равна $f(x)$. То есть должно выполняться равенство  $F'(x)=f(x)$. Проверим его.

$F'(x)=(x^3-4)'=3x^2=f(x).$

Действительно, равенство выполняется. Значит $F'(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Answer 2

Для доказательства того, что функция F(x) = x^3 - 4 является первообразной для функции f(x) = 3x^2 на промежутке (-бесконечности до +бесконечности), необходимо проверить, что производная от F(x) равна f(x).

Вычислим производную от F(x):

F'(x) = d/dx (x^3 - 4) = 3x^2

Таким образом, мы получили, что производная от F(x) равна f(x). Из этого следует, что функция F(x) является первообразной для функции f(x) на всем промежутке (-бесконечности до +бесконечности), так как первообразная любой функции определяется с точностью до константы, и любая константа будет учитываться при нахождении определенного интеграла.