Question

Банк має 25 філіалів, 10 з яких розташовані за міською смугою. Для дослідження навмання відібрано 8 філіалів. Яка ймовірність того, що серед відібраних виявиться в межах міста: а) 4 філіали; б) хоча б один?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

10 - за містом 15 - у місті

1)Всього способів обрати 8: С₂₅⁸=25!/(17!*8!)=1081575

4 в межах міста С₁₅⁴ та 4 не в місті С₁₀⁴ : С₁₅⁴*С₁₀⁴

P=С₁₅⁴*С₁₀⁴/С₂₅⁸=15!*10!/(11!*4!*4!*6!)≈0.27

2) хоча б один, це :1,2,3, 4, 5,6,7,8 . Краще взяти обратну подію з ймовірністю Р₁: не вибрали жодного в місті . Тоді Р=1- Р₁

Р₁=С₁₀⁸/С₂₅⁸   Р=1- Р₁  Р=1- С₁₀⁸/С₂₅⁸

P=1-(10!/8!*2!)*(17!*8!)/25!=1-45/1081575=1-45/1081575≈1-0.00004≈0.99996

Answer 2

Ми можемо вирішити цю задачу за допомогою формули гіпергеометричного розподілу, яка використовується для обчислення ймовірності успіху в популяції за наявності вибірки без повернення.

У цій задачі, популяція складається з 25 філіалів, 10 з яких містяться в місті, а 15 - поза містом. Ми відбираємо випадковим чином 8 філіалів, і хочемо знайти ймовірність того, що серед них буде певна кількість філіалів, розташованих в місті.

a) Щоб знайти ймовірність, що серед 8 відібраних філіалів буде рівно 4 філіали, що розташовані в місті, ми можемо використати наступну формулу:

$P(X = 4) = \frac{\binom{10}{4} \cdot \binom{15}{4}}{\binom{25}{8}}$

де $X$ - кількість філіалів, розташованих в місті, серед відібраних 8 філіалів.

Таким чином, підставляючи відповідні значення, ми отримуємо:

$P(X = 4) = \frac{\binom{10}{4} \cdot \binom{15}{4}}{\binom{25}{8}} = \frac{210 \cdot 1365}{5,200,300} \approx 0.172$

Таким чином, ймовірність того, що серед відібраних 8 філіалів буде рівно 4 філіали, розташовані в місті, дорівнює близько 0.172.

б) Щоб знайти ймовірність того, що серед 8 відібраних філіалів буде принаймні 1 філіал, розташований в місті, ми можемо відшукати ймовірність того, що не буде жодного такого філіалу, і відняти її від 1:

$$$$