Question

Помогите пожалуйста решить Нужно найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения: 2y'''-7y''=0 И если можно с объяснениями

Answer 1

найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения: 2y'''-7y''=0

Решение
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Линейным однородным дифференциальным уравнением высшего (3-го) порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
                               y⁽³⁾ + a₁ y⁽²⁾ + a₂y' + a₃ = 0
где коэффициенты a₁, a₂, a₃ – заданные действительные числа.

О бщим решением линейного однородного дифференциального уравнения 3 порядка с постоянными коэффициентами является линейная комбинация
                   y(x) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + C₃y₃(x)

–линейно независимых на том же отрезке частных решений этого уравнения y₁(x), y₂(x), y₃(x)

Для их нахождения составляется и решается характеристическое уравнение
                                 k³ + a₁k² + a₂k + a₃ = 0
Получаемое заменой в исходном дифференциальном уравнении производных y⁽ⁿ⁾ искомой функции степенями kⁿ , причем сама функция заменяется единицей y⁽⁰⁾ =1. Характеристическое уравнение – это алгебраическое уравнение степени n.

Каждому из n корней характеристического уравнения соответствует одно из n линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, причем:

– каждому действительному простому корню b соответствует частное решение вида

                                        eᵇˣ
- каждому действительному корню k кратности a соответствуют частных решений вида
                eᵇˣ, xeᵇˣ, x²eᵇˣ, x³eᵇˣ, xᵃ⁻¹ eᵇˣ
--------------------------------------------------------------------------------------------------

Сначала запишем соответствующее характеристическое уравнение и определим его корни:
                                     2k³ - 7k² = 0
                                     k²(2k - 7) = 0
                                k² = 0                2k - 7 = 0
                               k₁ = k₂ = 0             k₃ = 3,5

Как видно, характеристическое уравнение имеет один корень второго порядка: k₁₂ = 0 и один простой корень k₃ = 3,5.
Частные решение дифференциального уравнения определяются формулами
                         $y_1(x) = e^{0*x} = e^0 = 1$
                         $y_2(x) = xe^{0*x} = xe^0 = x$
                             $y_1(x) = e^{3,5x}$                                   
                                  
Поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид
                        $y(x) = C_1+C_2x+C_3e^{3,5x}$

Ответ: $y(x) = C_1+C_2x+C_3e^{3,5x}$

Answer 2

Для решения линейного однородного дифференциального уравнения вида 2y''' - 7y'' = 0, мы должны сначала найти характеристическое уравнение.

Характеристическое уравнение получается заменой y на экспоненту вида y = e^(rx), где r - неизвестная постоянная.

Таким образом, подставляем эту формулу в исходное уравнение и получаем:

2(e^(rx))''' - 7(e^(rx))'' = 0

Дифференцируя экспоненты, получаем:

2r^3 e^(rx) - 14r^2 e^(rx) = 0

Выносим e^(rx) за скобки и получаем:

2r^2 - 14r = 0

Решаем это уравнение и находим три корня:

r1 = 0, r2 = 7/2, r3 = 0

Таким образом, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид:

y = c1 + c2e^(7x/2) + c3x,

где c1, c2, c3 - произвольные постоянные, которые можно определить из начальных условий, если они даны.

Первое слагаемое c1 представляет общее решение для r = 0, второе слагаемое c2e^(7x/2) представляет общее решение для r = 7/2, а третье слагаемое c3x представляет частное решение, связанное с кратностью корня r = 0.