Question

Некоторое простое число возвели в четвертую степень и получили десятизнач- ное число. Могут ли все цифры полученного числа быть различными?

Answer 1

Нет. Если в 10-значном числе все цифры различные, значит там присутствуют все десять цифр 0,1,2,...,9. Их сумма равна 9*(1+9)/2=45. т,е. делится на 3. Значит и четвертая степень простого тоже делитя на 3. Значит и само исходное простое число обязано делиться на 3. Т.к. есть только одно такое простое - 3, то получаем противоречие, т.к.3^4=81 - и это 2-значное число, а не 10-значное.

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно определить, какие простые числа можно возвести в четвертую степень и получить десятизначное число.

Десятизначное число имеет вид abcdefghij, где каждая из цифр от 0 до 9. Тогда, чтобы получить десятизначное число, мы можем возвести в четвертую степень только простое число, которое имеет 7 в качестве наименьшей цифры. Это можно понять, если заметить, что 6-значное число в десятичной системе счисления максимум равно 999999, а $999999^{\frac{1}{4}}$ меньше 100, значит, максимальное простое число, возведённое в четвертую степень, которое даёт десятизначное число, не может превышать 3162 (так как $3162^4 = 99974458896$).

Итак, чтобы найти простое число, которое можно возвести в четвертую степень и получить десятизначное число, мы можем перебрать все простые числа от 1000 до 3162 и проверить, можно ли их возвести в четвертую степень и получить десятизначное число.

Следующие простые числа в этом диапазоне можно возвести в четвертую степень и получить десятизначное число:

$$7^4=2401, \quad 11^4=14,641, \quad 13^4=28,561, \quad 17^4=83,521$$

Теперь, чтобы ответить на вопрос задачи, нам нужно узнать, можно ли получить десятизначное число, используя только различные цифры из этих чисел.

Заметим, что все цифры чисел $7^4$ и $11^4$ различны, поэтому если мы возьмём только эти два числа, мы сможем получить десятизначное число с различными цифрами.

Однако, числа $13^4$ и $17^4$ содержат повторяющиеся цифры: $13^4=28561$ содержит две цифры 1, а $17^4=83521$ содержит две цифры 2. Поэтому мы не можем получить десятизначное число с различными цифрами, используя только эти числа.

Таким образом, ответ на вопрос задачи: не все цифры полученного числа могут быть различными.